Theorem tgextan 33109

Description: tgexta 33108's strictness can be used -- a remote interior angle congruent to the exterior angle is contradictory, so anything follows. This is the shape tgaasexc 33111 consumes: that branch holds an angle congruence and must close on it, which the non-strict ≤_∠-only form of tgexta 33108 could never let it do. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgextan.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgextan.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgextan.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgextan.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgextan.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tgextan.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
tgextan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgextan.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgextan.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgextan.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgextan.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgextan.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
tgextan.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tgextan.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
tgextan.cgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)

Assertion

Ref	Expression
tgextan	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem tgextan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgextan.cgr	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
2		tgextan.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tgextan.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		tgextan.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tgextan.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tgextan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
7		tgextan.s	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
8		tgextan.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		tgextan.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		tgextan.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		tgextan.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tgextan.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tgextan.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
14		tgextan.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
15		tgextan.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	tgexta 33108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)))
17	16	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩))
18	17	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
19	1, 18	pm2.21dd 198	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344  ≤_∠cleag 29385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-ismt 29026  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-mid 29309  df-lmi 29310  df-cgra 29345  df-inag 29386  df-leag 29395

This theorem is used by:  tgaasexc  33111