MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn22 27468
Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn22.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnconn22.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn22.2 (𝜑𝐶𝐵)
tgbtwnconn22.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn22 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
8 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
12 tgbtwnconn22.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
14 tgbtwnconn22.2 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝐵)
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16tgbtwncom 27377 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18 tgbtwnconn22.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19tgbtwnouttr2 27384 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
214adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2412adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
258adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
26 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2718adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
281, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27tgbtwncom 27377 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28tgbtwnintr 27382 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30 tgbtwnconn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
31 tgbtwnconn22.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
32 tgbtwnconn22.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33 tgbtwnconn22.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
341, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33tgbtwnconn2 27465 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3520, 29, 34mpjaodan 957 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27316  Itvcitv 27322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27337  df-trkgb 27338  df-trkgcb 27339  df-trkg 27342  df-cgrg 27400
This theorem is referenced by:  mideulem2  27623  flatcgra  27713
  Copyright terms: Public domain W3C validator