Theorem tgbtwnconn22 28528

Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn22	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		tgbtwnconn22.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnconn22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
17	1, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16	tgbtwncom 28437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18		tgbtwnconn22.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19	tgbtwnouttr2 28444	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
21	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
25	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
28	1, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27	tgbtwncom 28437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
29	1, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28	tgbtwnintr 28442	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30		tgbtwnconn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
31		tgbtwnconn22.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
32		tgbtwnconn22.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33		tgbtwnconn22.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	1, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33	tgbtwnconn2 28525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
35	20, 29, 34	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28376  Itvcitv 28382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28397  df-trkgb 28398  df-trkgcb 28399  df-trkg 28402  df-cgrg 28460

This theorem is referenced by:  mideulem2  28683  flatcgra  28773