MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn22 26079
Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn22.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnconn22.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn22.2 (𝜑𝐶𝐵)
tgbtwnconn22.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn22 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2772 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
76adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
8 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
12 tgbtwnconn22.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1312adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
14 tgbtwnconn22.2 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
1514adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝐵)
16 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16tgbtwncom 25988 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18 tgbtwnconn22.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
1918adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19tgbtwnouttr2 25995 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
214adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2412adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
258adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
26 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2718adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
281, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27tgbtwncom 25988 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28tgbtwnintr 25993 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30 tgbtwnconn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
31 tgbtwnconn22.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
32 tgbtwnconn22.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33 tgbtwnconn22.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
341, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33tgbtwnconn2 26076 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3520, 29, 34mpjaodan 941 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  distcds 16428  TarskiGcstrkg 25930  Itvcitv 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-s2 14070  df-s3 14071  df-trkgc 25948  df-trkgb 25949  df-trkgcb 25950  df-trkg 25953  df-cgrg 26011
This theorem is referenced by:  mideulem2  26234  flatcgra  26324
  Copyright terms: Public domain W3C validator