Theorem tgbtwnconn22 26670

Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn22	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		tgbtwnconn22.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnconn22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
15	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
16		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
17	1, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16	tgbtwncom 26579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18		tgbtwnconn22.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
19	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19	tgbtwnouttr2 26586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
21	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
25	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
28	1, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27	tgbtwncom 26579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
29	1, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28	tgbtwnintr 26584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30		tgbtwnconn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
31		tgbtwnconn22.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
32		tgbtwnconn22.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33		tgbtwnconn22.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	1, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33	tgbtwnconn2 26667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
35	20, 29, 34	mpjaodan 959	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-cgrg 26602

This theorem is referenced by:  mideulem2  26825  flatcgra  26915