Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn22 26387
 Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn22.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnconn22.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn22.2 (𝜑𝐶𝐵)
tgbtwnconn22.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn22 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2798 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
8 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
12 tgbtwnconn22.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸𝑃)
14 tgbtwnconn22.2 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶𝐵)
16 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16tgbtwncom 26296 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18 tgbtwnconn22.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
1918adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19tgbtwnouttr2 26303 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
214adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2412adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
258adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
26 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2718adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
281, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27tgbtwncom 26296 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28tgbtwnintr 26301 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30 tgbtwnconn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
31 tgbtwnconn22.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
32 tgbtwnconn22.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33 tgbtwnconn22.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
341, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33tgbtwnconn2 26384 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
3520, 29, 34mpjaodan 956 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Basecbs 16482  distcds 16573  TarskiGcstrkg 26238  Itvcitv 26244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13921  df-s1 13948  df-s2 14208  df-s3 14209  df-trkgc 26256  df-trkgb 26257  df-trkgcb 26258  df-trkg 26261  df-cgrg 26319 This theorem is referenced by:  mideulem2  26542  flatcgra  26632
 Copyright terms: Public domain W3C validator