MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn22 28422
Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgbtwnconn.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
tgbtwnconn22.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
tgbtwnconn22.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
tgbtwnconn22.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn22 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2725 . . 3 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 tgbtwnconn.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 tgbtwnconn22.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
14 tgbtwnconn22.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
1514adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
16 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16tgbtwncom 28331 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡))
18 tgbtwnconn22.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
1918adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19tgbtwnouttr2 28338 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
214adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2310adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2412adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
258adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
26 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
2718adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐸))
281, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27tgbtwncom 28331 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐸𝐼𝐢))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28tgbtwnintr 28336 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30 tgbtwnconn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
31 tgbtwnconn22.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
32 tgbtwnconn22.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
33 tgbtwnconn22.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
341, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33tgbtwnconn2 28419 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
3520, 29, 34mpjaodan 956 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  distcds 17236  TarskiGcstrkg 28270  Itvcitv 28276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573  df-s2 14826  df-s3 14827  df-trkgc 28291  df-trkgb 28292  df-trkgcb 28293  df-trkg 28296  df-cgrg 28354
This theorem is referenced by:  mideulem2  28577  flatcgra  28667
  Copyright terms: Public domain W3C validator