Theorem tgbtwnconn3 26842

Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn3.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Proof of Theorem tgbtwnconn3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgldim0itv 26769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
14	13	orcd 869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
15	4	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		simplr 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
17	8	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	6	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	10	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
21	20	necomd 2998	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
22		tgbtwnconn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24		tgbtwnconn3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
25	24	ad3antrrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝))
27	1, 2, 3, 15, 23, 17, 16, 26	tgbtwncom 26753	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐷))
28	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 23, 25, 27	tgbtwnintr 26758	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
29	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 28	tgbtwncom 26753	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
30		tgbtwnconn3.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
31	30	ad3antrrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32	1, 2, 3, 15, 17, 19, 23, 31	tgbtwncom 26753	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 15, 23, 19, 17, 16, 32, 26	tgbtwnexch3 26759	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
34	1, 2, 3, 15, 19, 17, 16, 33	tgbtwncom 26753	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
35	1, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 29, 34	tgbtwnconn2 26841	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
36	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
39		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
40	1, 2, 3, 36, 37, 38, 39	tgbtwndiff 26771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
41	35, 40	r19.29a 3217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
42	1, 8	tgldimor 26767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
43	14, 41, 42	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   ≤ cle 10941  2c2 11958  ♯chash 13972  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776

This theorem is referenced by:  tgbtwnconnln3  26843  hltr  26875  hlbtwn  26876  hlpasch  27021