Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn3 25928
 Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn3.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Proof of Theorem tgbtwnconn3
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2778 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
76adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
8 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
12 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgldim0itv 25855 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1413orcd 862 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
154ad3antrrr 720 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16 simplr 759 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
178ad3antrrr 720 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 720 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
1910ad3antrrr 720 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
20 simprr 763 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑝)
2120necomd 3024 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝐴)
22 tgbtwnconn.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
2322ad3antrrr 720 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐷𝑃)
24 tgbtwnconn3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524ad3antrrr 720 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simprl 761 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝))
271, 2, 3, 15, 23, 17, 16, 26tgbtwncom 25839 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐷))
281, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 23, 25, 27tgbtwnintr 25844 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
291, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 28tgbtwncom 25839 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
30 tgbtwnconn3.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3130ad3antrrr 720 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
321, 2, 3, 15, 17, 19, 23, 31tgbtwncom 25839 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 15, 23, 19, 17, 16, 32, 26tgbtwnexch3 25845 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
341, 2, 3, 15, 19, 17, 16, 33tgbtwncom 25839 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
351, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 29, 34tgbtwnconn2 25927 . . 3 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
364adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3722adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷𝑃)
388adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴𝑃)
39 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
401, 2, 3, 36, 37, 38, 39tgbtwndiff 25857 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
4135, 40r19.29a 3264 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
421, 8tgldimor 25853 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
4314, 41, 42mpjaodan 944 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   ≤ cle 10412  2c2 11430  ♯chash 13435  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804  df-cgrg 25862 This theorem is referenced by:  tgbtwnconnln3  25929  hltr  25961  hlbtwn  25962  hlpasch  26104
 Copyright terms: Public domain W3C validator