Theorem tgbtwnconn3 28633

Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn3.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Proof of Theorem tgbtwnconn3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgldim0itv 28560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
14	13	orcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
15	4	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
17	8	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	6	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	10	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
21	20	necomd 2985	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
22		tgbtwnconn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24		tgbtwnconn3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
25	24	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝))
27	1, 2, 3, 15, 23, 17, 16, 26	tgbtwncom 28544	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐷))
28	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 23, 25, 27	tgbtwnintr 28549	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
29	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 28	tgbtwncom 28544	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
30		tgbtwnconn3.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
31	30	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32	1, 2, 3, 15, 17, 19, 23, 31	tgbtwncom 28544	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 15, 23, 19, 17, 16, 32, 26	tgbtwnexch3 28550	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
34	1, 2, 3, 15, 19, 17, 16, 33	tgbtwncom 28544	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
35	1, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 29, 34	tgbtwnconn2 28632	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
36	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
39		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
40	1, 2, 3, 36, 37, 38, 39	tgbtwndiff 28562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
41	35, 40	r19.29a 3143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
42	1, 8	tgldimor 28558	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
43	14, 41, 42	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1c1 11028   ≤ cle 11169  2c2 12225  ♯chash 14281  Basecbs 17168  distcds 17218  TarskiGcstrkg 28483  Itvcitv 28489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8632  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 28504  df-trkgb 28505  df-trkgcb 28506  df-trkg 28509  df-cgrg 28567

This theorem is referenced by:  tgbtwnconnln3  28634  hltr  28666  hlbtwn  28667  hlpasch  28812