Theorem tgbtwnconn3 28096

Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn3.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Proof of Theorem tgbtwnconn3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgldim0itv 28023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
14	13	orcd 870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
15	4	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		simplr 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
17	8	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	6	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	10	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
21	20	necomd 2995	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
22		tgbtwnconn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24		tgbtwnconn3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
25	24	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝))
27	1, 2, 3, 15, 23, 17, 16, 26	tgbtwncom 28007	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐷))
28	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 23, 25, 27	tgbtwnintr 28012	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
29	1, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 28	tgbtwncom 28007	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
30		tgbtwnconn3.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
31	30	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
32	1, 2, 3, 15, 17, 19, 23, 31	tgbtwncom 28007	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 15, 23, 19, 17, 16, 32, 26	tgbtwnexch3 28013	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
34	1, 2, 3, 15, 19, 17, 16, 33	tgbtwncom 28007	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
35	1, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 29, 34	tgbtwnconn2 28095	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
36	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
39		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
40	1, 2, 3, 36, 37, 38, 39	tgbtwndiff 28025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
41	35, 40	r19.29a 3161	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
42	1, 8	tgldimor 28021	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
43	14, 41, 42	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11115   ≤ cle 11254  2c2 12272  ♯chash 14295  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  Itvcitv 27952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkg 27972  df-cgrg 28030

This theorem is referenced by:  tgbtwnconnln3  28097  hltr  28129  hlbtwn  28130  hlpasch  28275