Theorem thincepi 48356

Description: In a thin category, all morphisms are epimorphisms. The converse does not hold. See grptcepi 48418. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincid.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thincid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincepi	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem thincepi

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincmon.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
2	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
5		simpr3 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))
6		thincid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		thincid.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
8		thincid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
9	8	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	thincmo2 48349	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 = ℎ)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
12	11	ralrimivvva 3194	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
14		thincepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
15	8	thinccd 48346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16		thincid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 13, 14, 15, 16, 1	isepi2 17757	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))))
18	12, 17	mpbiran2d 706	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
19	18	eqrdv 2724	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ⟨cop 4639  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  Hom chom 17277  compcco 17278  Epicepi 17745  ThinCatcthinc 48340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-hom 17290  df-cco 17291  df-cat 17681  df-cid 17682  df-oppc 17725  df-mon 17746  df-epi 17747  df-thinc 48341

This theorem is referenced by: (None)