Theorem thincepi 50541

Description: In a thin category, all morphisms are epimorphisms. The converse does not hold. See grptcepi 50701. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincid.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thincid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincepi	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem thincepi

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincmon.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
5		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))
6		thincid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		thincid.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
8		thincid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	thincmo2 50533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 = ℎ)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
12	11	ralrimivvva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
14		thincepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
15	8	thinccatd 50530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16		thincid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 13, 14, 15, 16, 1	isepi2 17916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))))
18	12, 17	mpbiran2d 721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
19	18	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟨cop 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Hom chom 17439  compcco 17440  Epicepi 17904  ThinCatcthinc 50524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-oppc 17886  df-mon 17905  df-epi 17906  df-thinc 50525

This theorem is used by: (None)