Theorem thincepi 50363

Description: In a thin category, all morphisms are epimorphisms. The converse does not hold. See grptcepi 50523. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincid.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thincid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincepi	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem thincepi

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincmon.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
5		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))
6		thincid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		thincid.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
8		thincid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	thincmo2 50355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 = ℎ)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
12	11	ralrimivvva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
14		thincepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
15	8	thinccatd 50352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16		thincid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 13, 14, 15, 16, 1	isepi2 17833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))))
18	12, 17	mpbiran2d 721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
19	18	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Hom chom 17356  compcco 17357  Epicepi 17821  ThinCatcthinc 50346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760  df-oppc 17803  df-mon 17822  df-epi 17823  df-thinc 50347

This theorem is used by: (None)