Theorem thincepi 50232

Description: In a thin category, all morphisms are epimorphisms. The converse does not hold. See grptcepi 50392. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincid.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thincid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincepi	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem thincepi

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincmon.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
5		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))
6		thincid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		thincid.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
8		thincid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	thincmo2 50224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 = ℎ)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
12	11	ralrimivvva 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
14		thincepi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
15	8	thinccd 50221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16		thincid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 13, 14, 15, 16, 1	isepi2 17793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) → 𝑔 = ℎ))))
18	12, 17	mpbiran2d 720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
19	18	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Hom chom 17316  compcco 17317  Epicepi 17781  ThinCatcthinc 50215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-oppc 17763  df-mon 17782  df-epi 17783  df-thinc 50216

This theorem is referenced by: (None)