Theorem toplatjoin 49499

Description: Joins in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatjoin	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem toplatjoin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
2		toplatjoin.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18500	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	joinval 18339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4760	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
12		uniprg 4861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		unopn 22893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		intmin 4905	. . . . 5 ⊢ (∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipolub 49485	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∪ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {cpr 4564  ∪ cuni 4845  ∩ cint 4884  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Posetcpo 18271  lubclub 18273  joincjn 18275  toInccipo 18491  Topctop 22883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ocomp 17239  df-proset 18258  df-poset 18277  df-lub 18308  df-join 18310  df-ipo 18492  df-top 22884

This theorem is referenced by:  topdlat  49501