Theorem toplatjoin 47716

Description: Joins in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatjoin	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem toplatjoin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
2		toplatjoin.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18494	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	joinval 18335	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4826	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
12		uniprg 4926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		unopn 22626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		intmin 4973	. . . . 5 ⊢ (∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipolub 47702	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∪ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {cpr 4631  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4951  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Posetcpo 18265  lubclub 18267  joincjn 18269  toInccipo 18485  Topctop 22616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-join 18306  df-ipo 18486  df-top 22617

This theorem is referenced by:  topdlat  47718