Theorem toplatjoin 49702

Description: Joins in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatjoin	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem toplatjoin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
2		toplatjoin.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18594	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	joinval 18433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4792	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
12		uniprg 4892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		unopn 23031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		intmin 4937	. . . . 5 ⊢ (∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipolub 49688	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∪ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {cpr 4596  ∪ cuni 4876  ∩ cint 4916  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Posetcpo 18365  lubclub 18367  joincjn 18369  toInccipo 18585  Topctop 23021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ocomp 17333  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18402  df-join 18404  df-ipo 18586  df-top 23022

This theorem is referenced by:  topdlat  49704