Theorem toplatjoin 46628

Description: Joins in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatjoin	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem toplatjoin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
2		toplatjoin.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18343	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	joinval 18184	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4768	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
12		uniprg 4868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		unopn 22150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		intmin 4913	. . . . 5 ⊢ (∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥} = ∪ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑥})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipolub 46614	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∪ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∨ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {cpr 4574  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4893  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  Posetcpo 18114  lubclub 18116  joincjn 18118  toInccipo 18334  Topctop 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ocomp 17072  df-proset 18102  df-poset 18120  df-lub 18153  df-join 18155  df-ipo 18335  df-top 22141

This theorem is referenced by:  topdlat  46630