Theorem toplatmeet 48329

Description: Meets in a topology are realized by intersections. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatmeet	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem toplatmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
2		toplatmeet.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18561	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	meetval 18416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4831	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
12		intprg 4989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
14		inopn 22892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		unimax 4952	. . . . 5 ⊢ (∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipoglb 48317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  {cpr 4635  ∪ cuni 4913  ∩ cint 4954  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Posetcpo 18332  glbcglb 18335  meetcmee 18337  toInccipo 18552  Topctop 22886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ocomp 17287  df-odu 18312  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-glb 18372  df-meet 18374  df-ipo 18553  df-top 22887

This theorem is referenced by:  topdlat  48330