Theorem toplatmeet 48792

Description: Meets in a topology are realized by intersections. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatmeet	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem toplatmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
2		toplatmeet.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18594	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	meetval 18449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4827	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
12		intprg 4986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
14		inopn 22921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		unimax 4949	. . . . 5 ⊢ (∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipoglb 48780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {cpr 4633  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Posetcpo 18365  glbcglb 18368  meetcmee 18370  toInccipo 18585  Topctop 22915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-odu 18344  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-meet 18407  df-ipo 18586  df-top 22916

This theorem is referenced by:  topdlat  48793