Theorem toplatmeet 50322

Description: Meets in a topology are realized by intersections. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatmeet	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem toplatmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
2		toplatmeet.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18739	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	meetval 18592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4781	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
12		intprg 4944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
14		inopn 23247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		unimax 4908	. . . . 5 ⊢ (∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipoglb 50310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {cpr 4590  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Posetcpo 18510  glbcglb 18513  meetcmee 18515  toInccipo 18730  Topctop 23241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ocomp 17478  df-odu 18490  df-proset 18497  df-poset 18516  df-lub 18547  df-glb 18548  df-meet 18550  df-ipo 18731  df-top 23242

This theorem is used by:  topdlat  50323