Theorem toplatmeet 49436

Description: Meets in a topology are realized by intersections. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toplatmeet.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatmeet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatmeet.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
toplatmeet.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
toplatmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatmeet	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem toplatmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
2		toplatmeet.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐼)
3		toplatmeet.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
4	3	ipopos 18460	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
6		toplatmeet.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
7		toplatmeet.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
8	1, 2, 5, 6, 7	meetval 18313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}))
9		toplatmeet.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10	6, 7	prssd 4766	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
12		intprg 4924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
13	6, 7, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
14		inopn 22842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	9, 6, 7, 14	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	13, 15	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
17		unimax 4888	. . . . 5 ⊢ (∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}} = ∩ {𝐴, 𝐵})
19	18, 13	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ {𝐴, 𝐵}})
20	3, 9, 10, 11, 19, 15	ipoglb 49424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐼)‘{𝐴, 𝐵}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
21	8, 20	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∧ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Posetcpo 18231  glbcglb 18234  meetcmee 18236  toInccipo 18451  Topctop 22836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ocomp 17199  df-odu 18211  df-proset 18218  df-poset 18237  df-lub 18268  df-glb 18269  df-meet 18271  df-ipo 18452  df-top 22837

This theorem is referenced by:  topdlat  49437