Theorem assafld 33993

Description: If an algebra 𝐴 of finite degree over a division ring 𝐾 is an integral domain, then it is a field. Corollary of Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assafld.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assafld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assafld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
assafld.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assafld.3	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
assafld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Proof of Theorem assafld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assafld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20811	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
5	3, 4	unitss 20457	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
8	1	idomdomd 20809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Domn)
9		domnnzr 20790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Domn → 𝐴 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ NzRing)
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → 𝐴 ∈ NzRing)
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
13	4, 7, 11, 12	unitnz 33524	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
14		neirr 2965	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
16	13, 15	pm2.65da 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
17		ssdifsn 4755	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) ↔ ((Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴) ∧ ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)))
18	6, 16, 17	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐴) = (RLReg‘𝐴)
20		assafld.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
21		assafld.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ AssAlg)
23		assafld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐾 ∈ DivRing)
25		assafld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
27	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ Domn)
28		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
29	28	eldifad 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
30		eldifsni 4757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
31	28, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
32	3, 19, 7	domnrrg 20796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐴)) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
34	19, 4, 20, 22, 24, 26, 33	assarrginv 33992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐴))
35	18, 34	eqelssd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
36	3, 4, 7	isdrng 20816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
37	2, 35, 36	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
38	1	idomcringd 20810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ CRing)
39		isfld 20825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Field ↔ (𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ CRing))
40	37, 38, 39	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  Unitcui 20436  NzRingcnzr 20594  RLRegcrlreg 20775  Domncdomn 20776  IDomncidom 20777  DivRingcdr 20812  Fieldcfield 20813  AssAlgcasa 21979  dimcldim 33955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9553  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-rpss 7720  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-r1 9735  df-rank 9736  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-xadd 13137  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ocomp 17330  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-mri 17639  df-acs 17640  df-proset 18349  df-drs 18350  df-poset 18368  df-ipo 18583  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-nzr 20595  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-idom 20780  df-drng 20814  df-field 20815  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lmhm 21122  df-lmim 21123  df-lbs 21175  df-lvec 21203  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-uvc 21912  df-lindf 21935  df-linds 21936  df-assa 21982  df-dim 33956

This theorem is referenced by:  fldextrspunfld  34032