Theorem assafld 33944

Description: If an algebra 𝐴 of finite degree over a division ring 𝐾 is an integral domain, then it is a field. Corollary of Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assafld.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assafld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assafld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
assafld.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assafld.3	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
assafld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Proof of Theorem assafld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assafld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20803	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
5	3, 4	unitss 20449	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
8	1	idomdomd 20801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Domn)
9		domnnzr 20782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Domn → 𝐴 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ NzRing)
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → 𝐴 ∈ NzRing)
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
13	4, 7, 11, 12	unitnz 33471	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
14		neirr 2969	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
16	13, 15	pm2.65da 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
17		ssdifsn 4751	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) ↔ ((Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴) ∧ ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)))
18	6, 16, 17	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐴) = (RLReg‘𝐴)
20		assafld.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
21		assafld.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ AssAlg)
23		assafld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐾 ∈ DivRing)
25		assafld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
27	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ Domn)
28		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
29	28	eldifad 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
30		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
31	28, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
32	3, 19, 7	domnrrg 20788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐴)) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
34	19, 4, 20, 22, 24, 26, 33	assarrginv 33943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐴))
35	18, 34	eqelssd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
36	3, 4, 7	isdrng 20808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
37	2, 35, 36	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
38	1	idomcringd 20802	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ CRing)
39		isfld 20815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Field ↔ (𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ CRing))
40	37, 38, 39	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ‘cfv 6525  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307  Unitcui 20428  NzRingcnzr 20586  RLRegcrlreg 20767  Domncdomn 20768  IDomncidom 20769  DivRingcdr 20804  Fieldcfield 20805  AssAlgcasa 21960  dimcldim 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-xadd 13129  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ocomp 17321  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-mri 17630  df-acs 17631  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-nzr 20587  df-subrg 20646  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-idom 20772  df-drng 20806  df-field 20807  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lmhm 21112  df-lmim 21113  df-lbs 21165  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-uvc 21893  df-lindf 21916  df-linds 21917  df-assa 21963  df-dim 33907

This theorem is referenced by:  fldextrspunfld  33983