Theorem assafld 34149

Description: If an algebra 𝐴 of finite degree over a division ring 𝐾 is an integral domain, then it is a field. Corollary of Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assafld.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assafld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assafld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
assafld.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assafld.3	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
assafld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Proof of Theorem assafld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assafld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
5	3, 4	unitss 20521	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
8	1	idomdomd 20891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Domn)
9		domnnzr 20872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Domn → 𝐴 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ NzRing)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → 𝐴 ∈ NzRing)
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
13	4, 7, 11, 12	unitnz 33680	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
14		neirr 2966	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
16	13, 15	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
17		ssdifsn 4754	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) ↔ ((Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴) ∧ ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)))
18	6, 16, 17	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐴) = (RLReg‘𝐴)
20		assafld.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
21		assafld.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ AssAlg)
23		assafld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐾 ∈ DivRing)
25		assafld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
27	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ Domn)
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
29	28	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
30		eldifsni 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
31	28, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
32	3, 19, 7	domnrrg 20878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐴)) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
34	19, 4, 20, 22, 24, 26, 33	assarrginv 34148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐴))
35	18, 34	eqelssd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
36	3, 4, 7	isdrng 20898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
37	2, 35, 36	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
38	1	idomcringd 20892	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ CRing)
39		isfld 20907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Field ↔ (𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ CRing))
40	37, 38, 39	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  Ringcrg 20376  CRingccrg 20377  Unitcui 20500  NzRingcnzr 20676  RLRegcrlreg 20857  Domncdomn 20858  IDomncidom 20859  DivRingcdr 20894  Fieldcfield 20895  AssAlgcasa 22069  dimcldim 34111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567  ax-inf2 9623  ax-ac2 10468  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-ac 10122  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-xadd 13166  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ocomp 17367  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-mri 17676  df-acs 17677  df-proset 18386  df-drs 18387  df-poset 18405  df-ipo 18620  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-lsm 19767  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-nzr 20677  df-subrg 20736  df-rlreg 20860  df-domn 20861  df-idom 20862  df-drng 20896  df-field 20897  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lmhm 21210  df-lmim 21211  df-lbs 21263  df-lvec 21291  df-sra 21361  df-rgmod 21362  df-dsmm 21949  df-frlm 21964  df-uvc 22000  df-lindf 22023  df-linds 22024  df-assa 22072  df-dim 34112

This theorem is used by:  fldextrspunfld  34188