Theorem assafld 34312

Description: If an algebra 𝐴 of finite degree over a division ring 𝐾 is an integral domain, then it is a field. Corollary of Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assafld.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assafld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assafld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
assafld.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assafld.3	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
assafld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

Proof of Theorem assafld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assafld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)
2	1	idomringd 20980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
5	3, 4	unitss 20607	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
8	1	idomdomd 20978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Domn)
9		domnnzr 20959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Domn → 𝐴 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ NzRing)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → 𝐴 ∈ NzRing)
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
13	4, 7, 11, 12	unitnz 33842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
14		neirr 2964	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)) → ¬ (0g‘𝐴) ≠ (0g‘𝐴))
16	13, 15	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴))
17		ssdifsn 4750	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) ↔ ((Unit‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴) ∧ ¬ (0g‘𝐴) ∈ (Unit‘𝐴)))
18	6, 16, 17	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) ⊆ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
19		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐴) = (RLReg‘𝐴)
20		assafld.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
21		assafld.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ AssAlg)
23		assafld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐾 ∈ DivRing)
25		assafld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
27	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝐴 ∈ Domn)
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
29	28	eldifad 4051	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
30		eldifsni 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
31	28, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐴))
32	3, 19, 7	domnrrg 20965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐴)) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (RLReg‘𝐴))
34	19, 4, 20, 22, 24, 26, 33	assarrginv 34311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐴))
35	18, 34	eqelssd 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
36	3, 4, 7	isdrng 20985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
37	2, 35, 36	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
38	1	idomcringd 20979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ CRing)
39		isfld 20994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Field ↔ (𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ CRing))
40	37, 38, 39	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ‘cfv 6538  ℕ₀cn0 12607  Basecbs 17388  Scalarcsca 17432  0_gc0g 17611  Ringcrg 20460  CRingccrg 20461  Unitcui 20586  NzRingcnzr 20763  RLRegcrlreg 20944  Domncdomn 20945  IDomncidom 20946  DivRingcdr 20981  Fieldcfield 20982  AssAlgcasa 22159  dimcldim 34274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9587  ax-inf2 9643  ax-ac2 10542  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-r1 9769  df-rank 9770  df-scott 9930  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-ac 10196  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-xadd 13243  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ocomp 17450  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-mri 17759  df-acs 17760  df-proset 18469  df-drs 18470  df-poset 18488  df-ipo 18703  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-nzr 20764  df-subrg 20823  df-rlreg 20947  df-domn 20948  df-idom 20949  df-drng 20983  df-field 20984  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lmhm 21298  df-lmim 21299  df-lbs 21351  df-lvec 21379  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-uvc 22090  df-lindf 22113  df-linds 22114  df-assa 22162  df-dim 34275

This theorem is used by:  fldextrspunfld  34351