Theorem zdend 32746

Description: Denominator of an integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
znumd.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zdend	⊢ (𝜑 → (denom‘𝑍) = 1)

Proof of Theorem zdend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znumd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
2		zq 12977	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℚ)
4		1nn 12258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
6		gcd1 16546	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 gcd 1) = 1)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 gcd 1) = 1)
8	1	zcnd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
9	8	div1d 12016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 1) = 𝑍)
10	9	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 / 1))
11		qnumdenbi 16762	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1)) ↔ ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) ∧ ((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1))) → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
13	3, 1, 5, 7, 10, 12	syl32anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
14	13	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → (denom‘𝑍) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  1c1 11137   / cdiv 11901  ℕcn 12247  ℤcz 12595  ℚcq 12971   gcd cgcd 16512  numercnumer 16751  denomcdenom 16752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-dvds 16272  df-gcd 16513  df-numer 16753  df-denom 16754

This theorem is referenced by:  zringfrac  33508