Theorem zdend 32966

Description: Denominator of an integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
znumd.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zdend	⊢ (𝜑 → (denom‘𝑍) = 1)

Proof of Theorem zdend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znumd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℤ)
2		zq 12952	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℚ)
4		1nn 12218	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
6		gcd1 16545	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 gcd 1) = 1)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 gcd 1) = 1)
8	1	zcnd 12675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
9	8	div1d 11956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 1) = 𝑍)
10	9	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 / 1))
11		qnumdenbi 16762	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1)) ↔ ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1)))
12	11	biimpa 480	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ ℚ ∧ 𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) ∧ ((𝑍 gcd 1) = 1 ∧ 𝑍 = (𝑍 / 1))) → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
13	3, 1, 5, 7, 10, 12	syl32anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((numer‘𝑍) = 𝑍 ∧ (denom‘𝑍) = 1))
14	13	simprd 499	1 ⊢ (𝜑 → (denom‘𝑍) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℤcz 12565  ℚcq 12946   gcd cgcd 16511  numercnumer 16751  denomcdenom 16752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-numer 16753  df-denom 16754

This theorem is referenced by:  zringfrac  33711