Theorem gcd1 16574

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12673	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		gcddvds 16549	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
3	1, 2	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
4	3	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5		ax-1ne0 11253	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
7	6	necon3ai 2971	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9		gcdn0cl 16548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
11	1, 10	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12666	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13		1nn 12304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		dvdsle 16358	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
15	12, 13, 14	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
16	4, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17		nnle1eq1 12323	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
19	16, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541

This theorem is referenced by:  1gcd  16580  nn0expgcd  16611  lcm1  16657  dfphi2  16821  pockthlem  16952  fvprmselgcd1  17092  odinv  19603  pgpfac1lem2  20119  lgs1  27403  lgsquad2lem2  27447  2sqlem11  27491  znumd  32816  zdend  32817  qqh1  33931  lcmineqlem19  42004  aks6d1c4  42081