Theorem gcd1 16235

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		gcddvds 16210	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
3	1, 2	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
4	3	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5		ax-1ne0 10940	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
6		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
7	6	necon3ai 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9		gcdn0cl 16209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
11	1, 10	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12425	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		dvdsle 16019	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
16	4, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17		nnle1eq1 12003	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
19	16, 18	mpbid 231	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  1gcd  16241  lcm1  16315  dfphi2  16475  pockthlem  16606  fvprmselgcd1  16746  odinv  19168  pgpfac1lem2  19678  lgs1  26489  lgsquad2lem2  26533  2sqlem11  26577  qqh1  31935  lcmineqlem19  40055  nn0expgcd  40335