MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcd1 15453
Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcd1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1
StepHypRef Expression
1 1z 11610 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 gcddvds 15429 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
31, 2mpan2 671 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
43simprd 483 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5 ax-1ne0 10207 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
6 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
76necon3ai 2968 . . . . . . . 8 (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
85, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9 gcdn0cl 15428 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
108, 9mpan2 671 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
111, 10mpan2 671 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
1211nnzd 11684 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13 1nn 11233 . . . 4 1 ∈ ℕ
14 dvdsle 15237 . . . 4 (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
1512, 13, 14sylancl 574 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
164, 15mpd 15 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17 nnle1eq1 11250 . . 3 ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
1811, 17syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
1916, 18mpbid 222 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  0cc0 10138  1c1 10139  cle 10277  cn 11222  cz 11580  cdvds 15185   gcd cgcd 15420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12032  df-seq 13005  df-exp 13064  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-dvds 15186  df-gcd 15421
This theorem is referenced by:  1gcd  15458  lcm1  15527  dfphi2  15682  pockthlem  15812  fvprmselgcd1  15952  odinv  18181  pgpfac1lem2  18678  lgs1  25283  lgsquad2lem2  25327  2sqlem11  25371  qqh1  30365
  Copyright terms: Public domain W3C validator