Theorem gcd1 15927

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12051	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		gcddvds 15902	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
3	1, 2	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
4	3	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5		ax-1ne0 10644	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
6		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
7	6	necon3ai 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9		gcdn0cl 15901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
11	1, 10	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12125	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13		1nn 11685	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		dvdsle 15711	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
15	12, 13, 14	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
16	4, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17		nnle1eq1 11704	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
19	16, 18	mpbid 235	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℤcz 12020   ∥ cdvds 15655   gcd cgcd 15893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894

This theorem is referenced by:  1gcd  15932  lcm1  16006  dfphi2  16166  pockthlem  16296  fvprmselgcd1  16436  odinv  18755  pgpfac1lem2  19265  lgs1  26024  lgsquad2lem2  26068  2sqlem11  26112  qqh1  31454  lcmineqlem19  39614  nn0expgcd  39832