Theorem divassd 12155

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 12019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1402	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  zesq  14397  discr  14411  crre  15310  abs1m  15532  sqreulem  15556  o1rlimmul  15815  geoisum1c  16078  mertenslem1  16082  eftlub  16306  lcmgcdlem  16810  cncongr2  16872  isprm5  16912  pcaddlem  17095  pockthlem  17112  mul4sqlem  17160  4sqlem17  17168  odadd1  20092  nmoleub3  25470  ipcau2  25585  pjthlem1  25788  dvrec  26305  plyeq0lem  26559  aareccl  26683  dvradcnv  26778  abelthlem7  26795  tangtx  26864  tanarg  26977  logcnlem4  27003  mcubic  27205  cubic2  27206  dquart  27211  quart1lem  27213  quart1  27214  tanatan  27277  atantan  27281  dvatan  27293  atantayl  27295  log2cnv  27302  lgamgulmlem4  27389  basellem3  27440  basellem8  27445  perfectlem2  27587  bposlem1  27641  bposlem2  27642  lgsquad2lem1  27741  chebbnd1lem2  27827  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  selberg4  27918  selberg4r  27927  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem3  27936  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  pntrlog2bndlem6  27940  pntibndlem2  27948  pntlemo  27964  ostth2lem3  27992  axeuclidlem  29570  pjhthlem1  32023  quad3d  33411  constrrtlc1  34434  cos9thpinconstrlem1  34491  signsplypnf  35249  hgt750leme  35357  subfaclim  36120  circum  36606  faclimlem1  36686  faclimlem3  36688  knoppndvlem2  37557  knoppndvlem7  37562  knoppndvlem17  37572  itg2addnclem  38781  dvasin  38814  areacirclem1  38818  lcmineqlem11  43281  lcmineqlem18  43288  dvrelogpow2b  43310  aks4d1p1p7  43316  pellexlem6  44034  reglogexp  44094  sqrtcval  44833  binomcxplemwb  45524  binomcxplemnotnn0  45532  0ellimcdiv  46864  stoweidlem1  47216  wallispilem4  47283  stirlinglem3  47291  stirlinglem4  47292  stirlinglem7  47295  dirkertrigeq  47316  dirkercncflem2  47319  fourierdlem30  47352  fourierdlem83  47404  elaa2lem  47448  etransclem23  47472  etransclem24  47473  etransclem44  47493  etransclem45  47494  perfectALTVlem2  49025  itscnhlc0xyqsol  50082  itsclc0xyqsolr  50086  itsclquadb  50093