Theorem divassd 11836

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921   · cmul 10926   / cdiv 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683

This theorem is referenced by:  zesq  13991  discr  14005  crre  14874  abs1m  15096  sqreulem  15120  o1rlimmul  15377  geoisum1c  15641  mertenslem1  15645  eftlub  15867  lcmgcdlem  16360  cncongr2  16422  isprm5  16461  pcaddlem  16638  pockthlem  16655  mul4sqlem  16703  4sqlem17  16711  odadd1  19498  nmoleub3  24331  ipcau2  24447  pjthlem1  24650  dvrec  25168  plyeq0lem  25420  aareccl  25535  dvradcnv  25629  abelthlem7  25646  tangtx  25711  tanarg  25823  logcnlem4  25849  mcubic  26046  cubic2  26047  dquart  26052  quart1lem  26054  quart1  26055  tanatan  26118  atantan  26122  dvatan  26134  atantayl  26136  log2cnv  26143  lgamgulmlem4  26230  basellem3  26281  perfectlem2  26427  bposlem1  26481  bposlem2  26482  lgsquad2lem1  26581  chebbnd1lem2  26667  selberg3lem1  26754  selberg4lem1  26757  selberg4  26758  selberg4r  26767  pntrlog2bndlem2  26775  pntrlog2bndlem3  26776  pntrlog2bndlem4  26777  pntrlog2bndlem5  26778  pntrlog2bndlem6  26780  pntibndlem2  26788  pntlemo  26804  ostth2lem3  26832  axeuclidlem  27379  pjhthlem1  29802  signsplypnf  32578  hgt750leme  32687  subfaclim  33199  circum  33681  faclimlem1  33758  faclimlem3  33760  knoppndvlem2  34742  knoppndvlem7  34747  knoppndvlem17  34757  itg2addnclem  35876  dvasin  35909  areacirclem1  35913  lcmineqlem11  40247  lcmineqlem18  40254  dvrelogpow2b  40276  aks4d1p1p7  40282  pellexlem6  40851  reglogexp  40911  sqrtcval  41462  binomcxplemwb  42179  binomcxplemnotnn0  42187  0ellimcdiv  43419  stoweidlem1  43771  wallispilem4  43838  stirlinglem3  43846  stirlinglem4  43847  stirlinglem7  43850  dirkertrigeq  43871  dirkercncflem2  43874  fourierdlem30  43907  fourierdlem83  43959  elaa2lem  44003  etransclem23  44027  etransclem24  44028  etransclem44  44048  etransclem45  44049  perfectALTVlem2  45418  itscnhlc0xyqsol  46355  itsclc0xyqsolr  46359  itsclquadb  46366