Theorem divassd 11964

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  zesq  14186  discr  14200  crre  15074  abs1m  15296  sqreulem  15320  o1rlimmul  15579  geoisum1c  15843  mertenslem1  15847  eftlub  16074  lcmgcdlem  16573  cncongr2  16635  isprm5  16675  pcaddlem  16857  pockthlem  16874  mul4sqlem  16922  4sqlem17  16930  odadd1  19821  nmoleub3  25111  ipcau2  25226  pjthlem1  25429  dvrec  25947  plyeq0lem  26200  aareccl  26317  dvradcnv  26411  abelthlem7  26428  tangtx  26494  tanarg  26608  logcnlem4  26634  mcubic  26836  cubic2  26837  dquart  26842  quart1lem  26844  quart1  26845  tanatan  26908  atantan  26912  dvatan  26924  atantayl  26926  log2cnv  26933  lgamgulmlem4  27020  basellem3  27071  perfectlem2  27218  bposlem1  27272  bposlem2  27273  lgsquad2lem1  27372  chebbnd1lem2  27458  selberg3lem1  27545  selberg4lem1  27548  selberg4  27549  selberg4r  27558  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem3  27567  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem5  27569  pntrlog2bndlem6  27571  pntibndlem2  27579  pntlemo  27595  ostth2lem3  27623  axeuclidlem  29056  pjhthlem1  31487  quad3d  32848  constrrtlc1  33923  cos9thpinconstrlem1  33980  signsplypnf  34741  hgt750leme  34849  subfaclim  35423  circum  35909  faclimlem1  35978  faclimlem3  35980  knoppndvlem2  36826  knoppndvlem7  36831  knoppndvlem17  36841  itg2addnclem  38045  dvasin  38078  areacirclem1  38082  lcmineqlem11  42531  lcmineqlem18  42538  dvrelogpow2b  42560  aks4d1p1p7  42566  pellexlem6  43286  reglogexp  43346  sqrtcval  44092  binomcxplemwb  44799  binomcxplemnotnn0  44807  0ellimcdiv  46099  stoweidlem1  46451  wallispilem4  46518  stirlinglem3  46526  stirlinglem4  46527  stirlinglem7  46530  dirkertrigeq  46551  dirkercncflem2  46554  fourierdlem30  46587  fourierdlem83  46639  elaa2lem  46683  etransclem23  46707  etransclem24  46708  etransclem44  46728  etransclem45  46729  perfectALTVlem2  48220  itscnhlc0xyqsol  49263  itsclc0xyqsolr  49267  itsclquadb  49274