Theorem divassd 12050

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11912	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  zesq  14242  discr  14256  crre  15131  abs1m  15352  sqreulem  15376  o1rlimmul  15633  geoisum1c  15894  mertenslem1  15898  eftlub  16125  lcmgcdlem  16623  cncongr2  16685  isprm5  16724  pcaddlem  16906  pockthlem  16923  mul4sqlem  16971  4sqlem17  16979  odadd1  19827  nmoleub3  25068  ipcau2  25184  pjthlem1  25387  dvrec  25909  plyeq0lem  26165  aareccl  26284  dvradcnv  26380  abelthlem7  26398  tangtx  26464  tanarg  26578  logcnlem4  26604  mcubic  26807  cubic2  26808  dquart  26813  quart1lem  26815  quart1  26816  tanatan  26879  atantan  26883  dvatan  26895  atantayl  26897  log2cnv  26904  lgamgulmlem4  26992  basellem3  27043  perfectlem2  27191  bposlem1  27245  bposlem2  27246  lgsquad2lem1  27345  chebbnd1lem2  27431  selberg3lem1  27518  selberg4lem1  27521  selberg4  27522  selberg4r  27531  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  pntrlog2bndlem6  27544  pntibndlem2  27552  pntlemo  27568  ostth2lem3  27596  axeuclidlem  28887  pjhthlem1  31318  quad3d  32673  constrrtlc1  33712  cos9thpinconstrlem1  33769  signsplypnf  34528  hgt750leme  34636  subfaclim  35156  circum  35642  faclimlem1  35706  faclimlem3  35708  knoppndvlem2  36477  knoppndvlem7  36482  knoppndvlem17  36492  itg2addnclem  37641  dvasin  37674  areacirclem1  37678  lcmineqlem11  41998  lcmineqlem18  42005  dvrelogpow2b  42027  aks4d1p1p7  42033  pellexlem6  42804  reglogexp  42864  sqrtcval  43612  binomcxplemwb  44320  binomcxplemnotnn0  44328  0ellimcdiv  45626  stoweidlem1  45978  wallispilem4  46045  stirlinglem3  46053  stirlinglem4  46054  stirlinglem7  46057  dirkertrigeq  46078  dirkercncflem2  46081  fourierdlem30  46114  fourierdlem83  46166  elaa2lem  46210  etransclem23  46234  etransclem24  46235  etransclem44  46255  etransclem45  46256  perfectALTVlem2  47684  itscnhlc0xyqsol  48693  itsclc0xyqsolr  48697  itsclquadb  48704