Theorem divassd 11288

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1365	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372   · cmul 10377   / cdiv 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135

This theorem is referenced by:  zesq  13425  discr  13439  crre  14295  abs1m  14517  sqreulem  14541  o1rlimmul  14797  geoisum1c  15057  mertenslem1  15061  eftlub  15283  lcmgcdlem  15767  cncongr2  15829  isprm5  15868  pcaddlem  16041  pockthlem  16058  mul4sqlem  16106  4sqlem17  16114  odadd1  18679  nmoleub3  23394  ipcau2  23508  pjthlem1  23711  dvrec  24223  plyeq0lem  24471  aareccl  24586  dvradcnv  24680  abelthlem7  24697  tangtx  24762  tanarg  24871  logcnlem4  24897  mcubic  25094  cubic2  25095  dquart  25100  quart1lem  25102  quart1  25103  tanatan  25166  atantan  25170  dvatan  25182  atantayl  25184  log2cnv  25192  lgamgulmlem4  25279  basellem3  25330  perfectlem2  25476  bposlem1  25530  bposlem2  25531  lgsquad2lem1  25630  chebbnd1lem2  25716  selberg3lem1  25803  selberg4lem1  25806  selberg4  25807  selberg4r  25816  pntrlog2bndlem2  25824  pntrlog2bndlem3  25825  pntrlog2bndlem4  25826  pntrlog2bndlem5  25827  pntrlog2bndlem6  25829  pntibndlem2  25837  pntlemo  25853  ostth2lem3  25881  axeuclidlem  26419  pjhthlem1  28847  signsplypnf  31393  hgt750leme  31502  subfaclim  31999  circum  32470  faclimlem1  32528  faclimlem3  32530  knoppndvlem2  33405  knoppndvlem7  33410  knoppndvlem17  33420  itg2addnclem  34420  dvasin  34455  areacirclem1  34459  pellexlem6  38867  reglogexp  38927  binomcxplemwb  40170  binomcxplemnotnn0  40178  0ellimcdiv  41426  stoweidlem1  41782  wallispilem4  41849  stirlinglem3  41857  stirlinglem4  41858  stirlinglem7  41861  dirkertrigeq  41882  dirkercncflem2  41885  fourierdlem30  41918  fourierdlem83  41970  elaa2lem  42014  etransclem23  42038  etransclem24  42039  etransclem44  42059  etransclem45  42060  perfectALTVlem2  43323  itscnhlc0xyqsol  44187  itsclc0xyqsolr  44191  itsclquadb  44198