Theorem divassd 11993

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11855	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  zesq  14191  discr  14205  crre  15080  abs1m  15302  sqreulem  15326  o1rlimmul  15585  geoisum1c  15846  mertenslem1  15850  eftlub  16077  lcmgcdlem  16576  cncongr2  16638  isprm5  16677  pcaddlem  16859  pockthlem  16876  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  odadd1  19778  nmoleub3  25019  ipcau2  25134  pjthlem1  25337  dvrec  25859  plyeq0lem  26115  aareccl  26234  dvradcnv  26330  abelthlem7  26348  tangtx  26414  tanarg  26528  logcnlem4  26554  mcubic  26757  cubic2  26758  dquart  26763  quart1lem  26765  quart1  26766  tanatan  26829  atantan  26833  dvatan  26845  atantayl  26847  log2cnv  26854  lgamgulmlem4  26942  basellem3  26993  perfectlem2  27141  bposlem1  27195  bposlem2  27196  lgsquad2lem1  27295  chebbnd1lem2  27381  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  selberg4r  27481  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntibndlem2  27502  pntlemo  27518  ostth2lem3  27546  axeuclidlem  28889  pjhthlem1  31320  quad3d  32673  constrrtlc1  33722  cos9thpinconstrlem1  33779  signsplypnf  34541  hgt750leme  34649  subfaclim  35175  circum  35661  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem17  36516  itg2addnclem  37665  dvasin  37698  areacirclem1  37702  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem18  42034  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p7  42062  pellexlem6  42822  reglogexp  42882  sqrtcval  43630  binomcxplemwb  44337  binomcxplemnotnn0  44345  0ellimcdiv  45647  stoweidlem1  45999  wallispilem4  46066  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem7  46078  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem2  46102  fourierdlem30  46135  fourierdlem83  46187  elaa2lem  46231  etransclem23  46255  etransclem24  46256  etransclem44  46276  etransclem45  46277  perfectALTVlem2  47723  itscnhlc0xyqsol  48754  itsclc0xyqsolr  48758  itsclquadb  48765