Theorem divassd 11769

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11634	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   · cmul 10860   / cdiv 11615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616

This theorem is referenced by:  zesq  13922  discr  13936  crre  14806  abs1m  15028  sqreulem  15052  o1rlimmul  15309  geoisum1c  15573  mertenslem1  15577  eftlub  15799  lcmgcdlem  16292  cncongr2  16354  isprm5  16393  pcaddlem  16570  pockthlem  16587  mul4sqlem  16635  4sqlem17  16643  odadd1  19430  nmoleub3  24263  ipcau2  24379  pjthlem1  24582  dvrec  25100  plyeq0lem  25352  aareccl  25467  dvradcnv  25561  abelthlem7  25578  tangtx  25643  tanarg  25755  logcnlem4  25781  mcubic  25978  cubic2  25979  dquart  25984  quart1lem  25986  quart1  25987  tanatan  26050  atantan  26054  dvatan  26066  atantayl  26068  log2cnv  26075  lgamgulmlem4  26162  basellem3  26213  perfectlem2  26359  bposlem1  26413  bposlem2  26414  lgsquad2lem1  26513  chebbnd1lem2  26599  selberg3lem1  26686  selberg4lem1  26689  selberg4  26690  selberg4r  26699  pntrlog2bndlem2  26707  pntrlog2bndlem3  26708  pntrlog2bndlem4  26709  pntrlog2bndlem5  26710  pntrlog2bndlem6  26712  pntibndlem2  26720  pntlemo  26736  ostth2lem3  26764  axeuclidlem  27311  pjhthlem1  29732  signsplypnf  32508  hgt750leme  32617  subfaclim  33129  circum  33611  faclimlem1  33688  faclimlem3  33690  knoppndvlem2  34672  knoppndvlem7  34677  knoppndvlem17  34687  itg2addnclem  35807  dvasin  35840  areacirclem1  35844  lcmineqlem11  40027  lcmineqlem18  40034  dvrelogpow2b  40056  aks4d1p1p7  40062  pellexlem6  40636  reglogexp  40696  sqrtcval  41202  binomcxplemwb  41919  binomcxplemnotnn0  41927  0ellimcdiv  43144  stoweidlem1  43496  wallispilem4  43563  stirlinglem3  43571  stirlinglem4  43572  stirlinglem7  43575  dirkertrigeq  43596  dirkercncflem2  43599  fourierdlem30  43632  fourierdlem83  43684  elaa2lem  43728  etransclem23  43752  etransclem24  43753  etransclem44  43773  etransclem45  43774  perfectALTVlem2  45126  itscnhlc0xyqsol  46063  itsclc0xyqsolr  46067  itsclquadb  46074