Theorem divassd 12022

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112   / cdiv 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869

This theorem is referenced by:  zesq  14186  discr  14200  crre  15058  abs1m  15279  sqreulem  15303  o1rlimmul  15560  geoisum1c  15823  mertenslem1  15827  eftlub  16049  lcmgcdlem  16540  cncongr2  16602  isprm5  16641  pcaddlem  16818  pockthlem  16835  mul4sqlem  16883  4sqlem17  16891  odadd1  19711  nmoleub3  24627  ipcau2  24743  pjthlem1  24946  dvrec  25464  plyeq0lem  25716  aareccl  25831  dvradcnv  25925  abelthlem7  25942  tangtx  26007  tanarg  26119  logcnlem4  26145  mcubic  26342  cubic2  26343  dquart  26348  quart1lem  26350  quart1  26351  tanatan  26414  atantan  26418  dvatan  26430  atantayl  26432  log2cnv  26439  lgamgulmlem4  26526  basellem3  26577  perfectlem2  26723  bposlem1  26777  bposlem2  26778  lgsquad2lem1  26877  chebbnd1lem2  26963  selberg3lem1  27050  selberg4lem1  27053  selberg4  27054  selberg4r  27063  pntrlog2bndlem2  27071  pntrlog2bndlem3  27072  pntrlog2bndlem4  27073  pntrlog2bndlem5  27074  pntrlog2bndlem6  27076  pntibndlem2  27084  pntlemo  27100  ostth2lem3  27128  axeuclidlem  28210  pjhthlem1  30632  signsplypnf  33550  hgt750leme  33659  subfaclim  34168  circum  34648  faclimlem1  34702  faclimlem3  34704  knoppndvlem2  35378  knoppndvlem7  35383  knoppndvlem17  35393  itg2addnclem  36528  dvasin  36561  areacirclem1  36565  lcmineqlem11  40893  lcmineqlem18  40900  dvrelogpow2b  40922  aks4d1p1p7  40928  pellexlem6  41558  reglogexp  41618  sqrtcval  42378  binomcxplemwb  43093  binomcxplemnotnn0  43101  0ellimcdiv  44352  stoweidlem1  44704  wallispilem4  44771  stirlinglem3  44779  stirlinglem4  44780  stirlinglem7  44783  dirkertrigeq  44804  dirkercncflem2  44807  fourierdlem30  44840  fourierdlem83  44892  elaa2lem  44936  etransclem23  44960  etransclem24  44961  etransclem44  44981  etransclem45  44982  perfectALTVlem2  46377  itscnhlc0xyqsol  47405  itsclc0xyqsolr  47409  itsclquadb  47416