Theorem divassd 12105

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  zesq  14275  discr  14289  crre  15163  abs1m  15384  sqreulem  15408  o1rlimmul  15665  geoisum1c  15928  mertenslem1  15932  eftlub  16157  lcmgcdlem  16653  cncongr2  16715  isprm5  16754  pcaddlem  16935  pockthlem  16952  mul4sqlem  17000  4sqlem17  17008  odadd1  19890  nmoleub3  25171  ipcau2  25287  pjthlem1  25490  dvrec  26013  plyeq0lem  26269  aareccl  26386  dvradcnv  26482  abelthlem7  26500  tangtx  26565  tanarg  26679  logcnlem4  26705  mcubic  26908  cubic2  26909  dquart  26914  quart1lem  26916  quart1  26917  tanatan  26980  atantan  26984  dvatan  26996  atantayl  26998  log2cnv  27005  lgamgulmlem4  27093  basellem3  27144  perfectlem2  27292  bposlem1  27346  bposlem2  27347  lgsquad2lem1  27446  chebbnd1lem2  27532  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  selberg4r  27632  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntibndlem2  27653  pntlemo  27669  ostth2lem3  27697  axeuclidlem  28995  pjhthlem1  31423  quad3d  32757  constrrtlc1  33723  signsplypnf  34527  hgt750leme  34635  subfaclim  35156  circum  35642  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem17  36494  itg2addnclem  37631  dvasin  37664  areacirclem1  37668  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem18  42003  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p7  42031  pellexlem6  42790  reglogexp  42850  sqrtcval  43603  binomcxplemwb  44317  binomcxplemnotnn0  44325  0ellimcdiv  45570  stoweidlem1  45922  wallispilem4  45989  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem7  46001  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem2  46025  fourierdlem30  46058  fourierdlem83  46110  elaa2lem  46154  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem44  46199  etransclem45  46200  perfectALTVlem2  47596  itscnhlc0xyqsol  48499  itsclc0xyqsolr  48503  itsclquadb  48510