Theorem divassd 12017

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  zesq  14253  discr  14267  crre  15155  abs1m  15377  sqreulem  15401  o1rlimmul  15660  geoisum1c  15924  mertenslem1  15928  eftlub  16155  lcmgcdlem  16654  cncongr2  16716  isprm5  16756  pcaddlem  16938  pockthlem  16955  mul4sqlem  17003  4sqlem17  17011  odadd1  19909  nmoleub3  25239  ipcau2  25354  pjthlem1  25557  dvrec  26075  plyeq0lem  26328  aareccl  26448  dvradcnv  26542  abelthlem7  26559  tangtx  26628  tanarg  26742  logcnlem4  26768  mcubic  26970  cubic2  26971  dquart  26976  quart1lem  26978  quart1  26979  tanatan  27042  atantan  27046  dvatan  27058  atantayl  27060  log2cnv  27067  lgamgulmlem4  27154  basellem3  27205  perfectlem2  27352  bposlem1  27406  bposlem2  27407  lgsquad2lem1  27506  chebbnd1lem2  27592  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  selberg4  27683  selberg4r  27692  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem3  27701  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6  27705  pntibndlem2  27713  pntlemo  27729  ostth2lem3  27757  axeuclidlem  29221  pjhthlem1  31652  quad3d  33006  constrrtlc1  34039  cos9thpinconstrlem1  34096  signsplypnf  34854  hgt750leme  34962  subfaclim  35551  circum  36037  faclimlem1  36106  faclimlem3  36108  knoppndvlem2  36964  knoppndvlem7  36969  knoppndvlem17  36979  itg2addnclem  38182  dvasin  38215  areacirclem1  38219  lcmineqlem11  42668  lcmineqlem18  42675  dvrelogpow2b  42697  aks4d1p1p7  42703  pellexlem6  43423  reglogexp  43483  sqrtcval  44229  binomcxplemwb  44922  binomcxplemnotnn0  44930  0ellimcdiv  46221  stoweidlem1  46573  wallispilem4  46640  stirlinglem3  46648  stirlinglem4  46649  stirlinglem7  46652  dirkertrigeq  46673  dirkercncflem2  46676  fourierdlem30  46709  fourierdlem83  46761  elaa2lem  46805  etransclem23  46829  etransclem24  46830  etransclem44  46850  etransclem45  46851  perfectALTVlem2  48342  itscnhlc0xyqsol  49396  itsclc0xyqsolr  49400  itsclquadb  49407