Theorem divassd 12000

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  zesq  14198  discr  14212  crre  15087  abs1m  15309  sqreulem  15333  o1rlimmul  15592  geoisum1c  15853  mertenslem1  15857  eftlub  16084  lcmgcdlem  16583  cncongr2  16645  isprm5  16684  pcaddlem  16866  pockthlem  16883  mul4sqlem  16931  4sqlem17  16939  odadd1  19785  nmoleub3  25026  ipcau2  25141  pjthlem1  25344  dvrec  25866  plyeq0lem  26122  aareccl  26241  dvradcnv  26337  abelthlem7  26355  tangtx  26421  tanarg  26535  logcnlem4  26561  mcubic  26764  cubic2  26765  dquart  26770  quart1lem  26772  quart1  26773  tanatan  26836  atantan  26840  dvatan  26852  atantayl  26854  log2cnv  26861  lgamgulmlem4  26949  basellem3  27000  perfectlem2  27148  bposlem1  27202  bposlem2  27203  lgsquad2lem1  27302  chebbnd1lem2  27388  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  selberg4r  27488  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntibndlem2  27509  pntlemo  27525  ostth2lem3  27553  axeuclidlem  28896  pjhthlem1  31327  quad3d  32680  constrrtlc1  33729  cos9thpinconstrlem1  33786  signsplypnf  34548  hgt750leme  34656  subfaclim  35182  circum  35668  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  knoppndvlem2  36508  knoppndvlem7  36513  knoppndvlem17  36523  itg2addnclem  37672  dvasin  37705  areacirclem1  37709  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem18  42041  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p7  42069  pellexlem6  42829  reglogexp  42889  sqrtcval  43637  binomcxplemwb  44344  binomcxplemnotnn0  44352  0ellimcdiv  45654  stoweidlem1  46006  wallispilem4  46073  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem7  46085  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem2  46109  fourierdlem30  46142  fourierdlem83  46194  elaa2lem  46238  etransclem23  46262  etransclem24  46263  etransclem44  46283  etransclem45  46284  perfectALTVlem2  47727  itscnhlc0xyqsol  48758  itsclc0xyqsolr  48762  itsclquadb  48769