Theorem divassd 12053

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  zesq  14292  discr  14306  crre  15203  abs1m  15425  sqreulem  15449  o1rlimmul  15708  geoisum1c  15971  mertenslem1  15975  eftlub  16201  lcmgcdlem  16700  cncongr2  16762  isprm5  16802  pcaddlem  16984  pockthlem  17001  mul4sqlem  17049  4sqlem17  17057  odadd1  19976  nmoleub3  25348  ipcau2  25463  pjthlem1  25666  dvrec  26184  plyeq0lem  26437  aareccl  26559  dvradcnv  26654  abelthlem7  26671  tangtx  26740  tanarg  26854  logcnlem4  26880  mcubic  27082  cubic2  27083  dquart  27088  quart1lem  27090  quart1  27091  tanatan  27154  atantan  27158  dvatan  27170  atantayl  27172  log2cnv  27179  lgamgulmlem4  27266  basellem3  27317  basellem8  27322  perfectlem2  27464  bposlem1  27518  bposlem2  27519  lgsquad2lem1  27618  chebbnd1lem2  27704  selberg3lem1  27791  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  selberg4r  27804  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6  27817  pntibndlem2  27825  pntlemo  27841  ostth2lem3  27869  axeuclidlem  29405  pjhthlem1  31858  quad3d  33207  constrrtlc1  34229  cos9thpinconstrlem1  34286  signsplypnf  35045  hgt750leme  35153  subfaclim  35754  circum  36240  faclimlem1  36309  faclimlem3  36311  knoppndvlem2  37197  knoppndvlem7  37202  knoppndvlem17  37212  itg2addnclem  38407  dvasin  38440  areacirclem1  38444  lcmineqlem11  42892  lcmineqlem18  42899  dvrelogpow2b  42921  aks4d1p1p7  42927  pellexlem6  43662  reglogexp  43722  sqrtcval  44468  binomcxplemwb  45159  binomcxplemnotnn0  45167  0ellimcdiv  46464  stoweidlem1  46816  wallispilem4  46883  stirlinglem3  46891  stirlinglem4  46892  stirlinglem7  46895  dirkertrigeq  46916  dirkercncflem2  46919  fourierdlem30  46952  fourierdlem83  47004  elaa2lem  47048  etransclem23  47072  etransclem24  47073  etransclem44  47093  etransclem45  47094  perfectALTVlem2  48625  itscnhlc0xyqsol  49682  itsclc0xyqsolr  49686  itsclquadb  49693