Theorem divassd 11966

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  zesq  14188  discr  14202  crre  15076  abs1m  15298  sqreulem  15322  o1rlimmul  15581  geoisum1c  15845  mertenslem1  15849  eftlub  16076  lcmgcdlem  16575  cncongr2  16637  isprm5  16677  pcaddlem  16859  pockthlem  16876  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  odadd1  19823  nmoleub3  25086  ipcau2  25201  pjthlem1  25404  dvrec  25922  plyeq0lem  26175  aareccl  26292  dvradcnv  26386  abelthlem7  26403  tangtx  26469  tanarg  26583  logcnlem4  26609  mcubic  26811  cubic2  26812  dquart  26817  quart1lem  26819  quart1  26820  tanatan  26883  atantan  26887  dvatan  26899  atantayl  26901  log2cnv  26908  lgamgulmlem4  26995  basellem3  27046  perfectlem2  27193  bposlem1  27247  bposlem2  27248  lgsquad2lem1  27347  chebbnd1lem2  27433  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  selberg4r  27533  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntibndlem2  27554  pntlemo  27570  ostth2lem3  27598  axeuclidlem  29031  pjhthlem1  31462  quad3d  32822  constrrtlc1  33876  cos9thpinconstrlem1  33933  signsplypnf  34694  hgt750leme  34802  subfaclim  35370  circum  35856  faclimlem1  35925  faclimlem3  35927  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem17  36788  itg2addnclem  37992  dvasin  38025  areacirclem1  38029  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem18  42485  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p7  42513  pellexlem6  43262  reglogexp  43322  sqrtcval  44068  binomcxplemwb  44775  binomcxplemnotnn0  44783  0ellimcdiv  46077  stoweidlem1  46429  wallispilem4  46496  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem7  46508  dirkertrigeq  46529  dirkercncflem2  46532  fourierdlem30  46565  fourierdlem83  46617  elaa2lem  46661  etransclem23  46685  etransclem24  46686  etransclem44  46706  etransclem45  46707  perfectALTVlem2  48198  itscnhlc0xyqsol  49241  itsclc0xyqsolr  49245  itsclquadb  49252