Theorem divassd 11929

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11791	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  zesq  14130  discr  14144  crre  15018  abs1m  15240  sqreulem  15264  o1rlimmul  15523  geoisum1c  15784  mertenslem1  15788  eftlub  16015  lcmgcdlem  16514  cncongr2  16576  isprm5  16615  pcaddlem  16797  pockthlem  16814  mul4sqlem  16862  4sqlem17  16870  odadd1  19758  nmoleub3  25044  ipcau2  25159  pjthlem1  25362  dvrec  25884  plyeq0lem  26140  aareccl  26259  dvradcnv  26355  abelthlem7  26373  tangtx  26439  tanarg  26553  logcnlem4  26579  mcubic  26782  cubic2  26783  dquart  26788  quart1lem  26790  quart1  26791  tanatan  26854  atantan  26858  dvatan  26870  atantayl  26872  log2cnv  26879  lgamgulmlem4  26967  basellem3  27018  perfectlem2  27166  bposlem1  27220  bposlem2  27221  lgsquad2lem1  27320  chebbnd1lem2  27406  selberg3lem1  27493  selberg4lem1  27496  selberg4  27497  selberg4r  27506  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bndlem3  27515  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem5  27517  pntrlog2bndlem6  27519  pntibndlem2  27527  pntlemo  27543  ostth2lem3  27571  axeuclidlem  28938  pjhthlem1  31366  quad3d  32728  constrrtlc1  33740  cos9thpinconstrlem1  33797  signsplypnf  34558  hgt750leme  34666  subfaclim  35220  circum  35706  faclimlem1  35775  faclimlem3  35777  knoppndvlem2  36546  knoppndvlem7  36551  knoppndvlem17  36561  itg2addnclem  37710  dvasin  37743  areacirclem1  37747  lcmineqlem11  42071  lcmineqlem18  42078  dvrelogpow2b  42100  aks4d1p1p7  42106  pellexlem6  42866  reglogexp  42926  sqrtcval  43673  binomcxplemwb  44380  binomcxplemnotnn0  44388  0ellimcdiv  45686  stoweidlem1  46038  wallispilem4  46105  stirlinglem3  46113  stirlinglem4  46114  stirlinglem7  46117  dirkertrigeq  46138  dirkercncflem2  46141  fourierdlem30  46174  fourierdlem83  46226  elaa2lem  46270  etransclem23  46294  etransclem24  46295  etransclem44  46315  etransclem45  46316  perfectALTVlem2  47752  itscnhlc0xyqsol  48796  itsclc0xyqsolr  48800  itsclquadb  48807