Theorem divassd 11999

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1392	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  zesq  14236  discr  14250  crre  15124  abs1m  15346  sqreulem  15370  o1rlimmul  15629  geoisum1c  15893  mertenslem1  15897  eftlub  16124  lcmgcdlem  16623  cncongr2  16685  isprm5  16725  pcaddlem  16907  pockthlem  16924  mul4sqlem  16972  4sqlem17  16980  odadd1  19871  nmoleub3  25161  ipcau2  25276  pjthlem1  25479  dvrec  25997  plyeq0lem  26250  aareccl  26367  dvradcnv  26461  abelthlem7  26478  tangtx  26547  tanarg  26661  logcnlem4  26687  mcubic  26889  cubic2  26890  dquart  26895  quart1lem  26897  quart1  26898  tanatan  26961  atantan  26965  dvatan  26977  atantayl  26979  log2cnv  26986  lgamgulmlem4  27073  basellem3  27124  perfectlem2  27271  bposlem1  27325  bposlem2  27326  lgsquad2lem1  27425  chebbnd1lem2  27511  selberg3lem1  27598  selberg4lem1  27601  selberg4  27602  selberg4r  27611  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem3  27620  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem5  27622  pntrlog2bndlem6  27624  pntibndlem2  27632  pntlemo  27648  ostth2lem3  27676  axeuclidlem  29109  pjhthlem1  31540  quad3d  32901  constrrtlc1  33990  cos9thpinconstrlem1  34047  signsplypnf  34808  hgt750leme  34916  subfaclim  35502  circum  35988  faclimlem1  36057  faclimlem3  36059  knoppndvlem2  36915  knoppndvlem7  36920  knoppndvlem17  36930  itg2addnclem  38134  dvasin  38167  areacirclem1  38171  lcmineqlem11  42620  lcmineqlem18  42627  dvrelogpow2b  42649  aks4d1p1p7  42655  pellexlem6  43375  reglogexp  43435  sqrtcval  44181  binomcxplemwb  44888  binomcxplemnotnn0  44896  0ellimcdiv  46187  stoweidlem1  46539  wallispilem4  46606  stirlinglem3  46614  stirlinglem4  46615  stirlinglem7  46618  dirkertrigeq  46639  dirkercncflem2  46642  fourierdlem30  46675  fourierdlem83  46727  elaa2lem  46771  etransclem23  46795  etransclem24  46796  etransclem44  46816  etransclem45  46817  perfectALTVlem2  48308  itscnhlc0xyqsol  49351  itsclc0xyqsolr  49355  itsclquadb  49362