Theorem divassd 12131

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  zesq  14373  discr  14387  crre  15286  abs1m  15508  sqreulem  15532  o1rlimmul  15791  geoisum1c  16054  mertenslem1  16058  eftlub  16282  lcmgcdlem  16786  cncongr2  16848  isprm5  16888  pcaddlem  17071  pockthlem  17088  mul4sqlem  17136  4sqlem17  17144  odadd1  20067  nmoleub3  25445  ipcau2  25560  pjthlem1  25763  dvrec  26280  plyeq0lem  26534  aareccl  26658  dvradcnv  26753  abelthlem7  26770  tangtx  26839  tanarg  26952  logcnlem4  26978  mcubic  27180  cubic2  27181  dquart  27186  quart1lem  27188  quart1  27189  tanatan  27252  atantan  27256  dvatan  27268  atantayl  27270  log2cnv  27277  lgamgulmlem4  27364  basellem3  27415  basellem8  27420  perfectlem2  27562  bposlem1  27616  bposlem2  27617  lgsquad2lem1  27716  chebbnd1lem2  27802  selberg3lem1  27889  selberg4lem1  27892  selberg4  27893  selberg4r  27902  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem3  27911  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913  pntrlog2bndlem6  27915  pntibndlem2  27923  pntlemo  27939  ostth2lem3  27967  axeuclidlem  29545  pjhthlem1  31998  quad3d  33387  constrrtlc1  34410  cos9thpinconstrlem1  34467  signsplypnf  35225  hgt750leme  35333  subfaclim  36039  circum  36525  faclimlem1  36600  faclimlem3  36602  knoppndvlem2  37471  knoppndvlem7  37476  knoppndvlem17  37486  itg2addnclem  38682  dvasin  38715  areacirclem1  38719  lcmineqlem11  43182  lcmineqlem18  43189  dvrelogpow2b  43211  aks4d1p1p7  43217  pellexlem6  43934  reglogexp  43994  sqrtcval  44734  binomcxplemwb  45425  binomcxplemnotnn0  45433  0ellimcdiv  46752  stoweidlem1  47104  wallispilem4  47171  stirlinglem3  47179  stirlinglem4  47180  stirlinglem7  47183  dirkertrigeq  47204  dirkercncflem2  47207  fourierdlem30  47240  fourierdlem83  47292  elaa2lem  47336  etransclem23  47360  etransclem24  47361  etransclem44  47381  etransclem45  47382  perfectALTVlem2  48913  itscnhlc0xyqsol  49970  itsclc0xyqsolr  49974  itsclquadb  49981