Theorem divassd 12054

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11918	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  zesq  14294  discr  14308  crre  15205  abs1m  15427  sqreulem  15451  o1rlimmul  15710  geoisum1c  15973  mertenslem1  15977  eftlub  16203  lcmgcdlem  16702  cncongr2  16764  isprm5  16804  pcaddlem  16986  pockthlem  17003  mul4sqlem  17051  4sqlem17  17059  odadd1  19981  nmoleub3  25353  ipcau2  25468  pjthlem1  25671  dvrec  26189  plyeq0lem  26443  aareccl  26569  dvradcnv  26664  abelthlem7  26681  tangtx  26750  tanarg  26864  logcnlem4  26890  mcubic  27092  cubic2  27093  dquart  27098  quart1lem  27100  quart1  27101  tanatan  27164  atantan  27168  dvatan  27180  atantayl  27182  log2cnv  27189  lgamgulmlem4  27276  basellem3  27327  basellem8  27332  perfectlem2  27474  bposlem1  27528  bposlem2  27529  lgsquad2lem1  27628  chebbnd1lem2  27714  selberg3lem1  27801  selberg4lem1  27804  selberg4  27805  selberg4r  27814  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem3  27823  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bndlem6  27827  pntibndlem2  27835  pntlemo  27851  ostth2lem3  27879  axeuclidlem  29427  pjhthlem1  31880  quad3d  33228  constrrtlc1  34250  cos9thpinconstrlem1  34307  signsplypnf  35066  hgt750leme  35174  subfaclim  35775  circum  36261  faclimlem1  36330  faclimlem3  36332  knoppndvlem2  37218  knoppndvlem7  37223  knoppndvlem17  37233  itg2addnclem  38428  dvasin  38461  areacirclem1  38465  lcmineqlem11  42913  lcmineqlem18  42920  dvrelogpow2b  42942  aks4d1p1p7  42948  pellexlem6  43683  reglogexp  43743  sqrtcval  44489  binomcxplemwb  45180  binomcxplemnotnn0  45188  0ellimcdiv  46485  stoweidlem1  46837  wallispilem4  46904  stirlinglem3  46912  stirlinglem4  46913  stirlinglem7  46916  dirkertrigeq  46937  dirkercncflem2  46940  fourierdlem30  46973  fourierdlem83  47025  elaa2lem  47069  etransclem23  47093  etransclem24  47094  etransclem44  47114  etransclem45  47115  perfectALTVlem2  48646  itscnhlc0xyqsol  49703  itsclc0xyqsolr  49707  itsclquadb  49714