Theorem divassd 12075

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  zesq  14261  discr  14275  crre  15149  abs1m  15370  sqreulem  15394  o1rlimmul  15651  geoisum1c  15912  mertenslem1  15916  eftlub  16141  lcmgcdlem  16639  cncongr2  16701  isprm5  16740  pcaddlem  16921  pockthlem  16938  mul4sqlem  16986  4sqlem17  16994  odadd1  19880  nmoleub3  25165  ipcau2  25281  pjthlem1  25484  dvrec  26007  plyeq0lem  26263  aareccl  26382  dvradcnv  26478  abelthlem7  26496  tangtx  26561  tanarg  26675  logcnlem4  26701  mcubic  26904  cubic2  26905  dquart  26910  quart1lem  26912  quart1  26913  tanatan  26976  atantan  26980  dvatan  26992  atantayl  26994  log2cnv  27001  lgamgulmlem4  27089  basellem3  27140  perfectlem2  27288  bposlem1  27342  bposlem2  27343  lgsquad2lem1  27442  chebbnd1lem2  27528  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  selberg4r  27628  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntibndlem2  27649  pntlemo  27665  ostth2lem3  27693  axeuclidlem  28991  pjhthlem1  31419  quad3d  32760  constrrtlc1  33737  signsplypnf  34543  hgt750leme  34651  subfaclim  35172  circum  35658  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem7  36500  knoppndvlem17  36510  itg2addnclem  37657  dvasin  37690  areacirclem1  37694  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem18  42027  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p7  42055  pellexlem6  42821  reglogexp  42881  sqrtcval  43630  binomcxplemwb  44343  binomcxplemnotnn0  44351  0ellimcdiv  45604  stoweidlem1  45956  wallispilem4  46023  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem7  46035  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem2  46059  fourierdlem30  46092  fourierdlem83  46144  elaa2lem  46188  etransclem23  46212  etransclem24  46213  etransclem44  46233  etransclem45  46234  perfectALTVlem2  47646  itscnhlc0xyqsol  48614  itsclc0xyqsolr  48618  itsclquadb  48625