Theorem divassd 11957

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  zesq  14179  discr  14193  crre  15067  abs1m  15289  sqreulem  15313  o1rlimmul  15572  geoisum1c  15836  mertenslem1  15840  eftlub  16067  lcmgcdlem  16566  cncongr2  16628  isprm5  16668  pcaddlem  16850  pockthlem  16867  mul4sqlem  16915  4sqlem17  16923  odadd1  19814  nmoleub3  25096  ipcau2  25211  pjthlem1  25414  dvrec  25932  plyeq0lem  26185  aareccl  26303  dvradcnv  26399  abelthlem7  26416  tangtx  26482  tanarg  26596  logcnlem4  26622  mcubic  26824  cubic2  26825  dquart  26830  quart1lem  26832  quart1  26833  tanatan  26896  atantan  26900  dvatan  26912  atantayl  26914  log2cnv  26921  lgamgulmlem4  27009  basellem3  27060  perfectlem2  27207  bposlem1  27261  bposlem2  27262  lgsquad2lem1  27361  chebbnd1lem2  27447  selberg3lem1  27534  selberg4lem1  27537  selberg4  27538  selberg4r  27547  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6  27560  pntibndlem2  27568  pntlemo  27584  ostth2lem3  27612  axeuclidlem  29045  pjhthlem1  31477  quad3d  32837  constrrtlc1  33892  cos9thpinconstrlem1  33949  signsplypnf  34710  hgt750leme  34818  subfaclim  35386  circum  35872  faclimlem1  35941  faclimlem3  35943  knoppndvlem2  36789  knoppndvlem7  36794  knoppndvlem17  36804  itg2addnclem  38006  dvasin  38039  areacirclem1  38043  lcmineqlem11  42492  lcmineqlem18  42499  dvrelogpow2b  42521  aks4d1p1p7  42527  pellexlem6  43280  reglogexp  43340  sqrtcval  44086  binomcxplemwb  44793  binomcxplemnotnn0  44801  0ellimcdiv  46095  stoweidlem1  46447  wallispilem4  46514  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem7  46526  dirkertrigeq  46547  dirkercncflem2  46550  fourierdlem30  46583  fourierdlem83  46635  elaa2lem  46679  etransclem23  46703  etransclem24  46704  etransclem44  46724  etransclem45  46725  perfectALTVlem2  48210  itscnhlc0xyqsol  49253  itsclc0xyqsolr  49257  itsclquadb  49264