Theorem divassd 11952

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  zesq  14149  discr  14163  crre  15037  abs1m  15259  sqreulem  15283  o1rlimmul  15542  geoisum1c  15803  mertenslem1  15807  eftlub  16034  lcmgcdlem  16533  cncongr2  16595  isprm5  16634  pcaddlem  16816  pockthlem  16833  mul4sqlem  16881  4sqlem17  16889  odadd1  19777  nmoleub3  25075  ipcau2  25190  pjthlem1  25393  dvrec  25915  plyeq0lem  26171  aareccl  26290  dvradcnv  26386  abelthlem7  26404  tangtx  26470  tanarg  26584  logcnlem4  26610  mcubic  26813  cubic2  26814  dquart  26819  quart1lem  26821  quart1  26822  tanatan  26885  atantan  26889  dvatan  26901  atantayl  26903  log2cnv  26910  lgamgulmlem4  26998  basellem3  27049  perfectlem2  27197  bposlem1  27251  bposlem2  27252  lgsquad2lem1  27351  chebbnd1lem2  27437  selberg3lem1  27524  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  selberg4r  27537  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntibndlem2  27558  pntlemo  27574  ostth2lem3  27602  axeuclidlem  29035  pjhthlem1  31466  quad3d  32829  constrrtlc1  33889  cos9thpinconstrlem1  33946  signsplypnf  34707  hgt750leme  34815  subfaclim  35382  circum  35868  faclimlem1  35937  faclimlem3  35939  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem17  36728  itg2addnclem  37868  dvasin  37901  areacirclem1  37905  lcmineqlem11  42289  lcmineqlem18  42296  dvrelogpow2b  42318  aks4d1p1p7  42324  pellexlem6  43072  reglogexp  43132  sqrtcval  43878  binomcxplemwb  44585  binomcxplemnotnn0  44593  0ellimcdiv  45889  stoweidlem1  46241  wallispilem4  46308  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem7  46320  dirkertrigeq  46341  dirkercncflem2  46344  fourierdlem30  46377  fourierdlem83  46429  elaa2lem  46473  etransclem23  46497  etransclem24  46498  etransclem44  46518  etransclem45  46519  perfectALTVlem2  47964  itscnhlc0xyqsol  49007  itsclc0xyqsolr  49011  itsclquadb  49018