Theorem divassd 11964

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  zesq  14161  discr  14175  crre  15049  abs1m  15271  sqreulem  15295  o1rlimmul  15554  geoisum1c  15815  mertenslem1  15819  eftlub  16046  lcmgcdlem  16545  cncongr2  16607  isprm5  16646  pcaddlem  16828  pockthlem  16845  mul4sqlem  16893  4sqlem17  16901  odadd1  19789  nmoleub3  25087  ipcau2  25202  pjthlem1  25405  dvrec  25927  plyeq0lem  26183  aareccl  26302  dvradcnv  26398  abelthlem7  26416  tangtx  26482  tanarg  26596  logcnlem4  26622  mcubic  26825  cubic2  26826  dquart  26831  quart1lem  26833  quart1  26834  tanatan  26897  atantan  26901  dvatan  26913  atantayl  26915  log2cnv  26922  lgamgulmlem4  27010  basellem3  27061  perfectlem2  27209  bposlem1  27263  bposlem2  27264  lgsquad2lem1  27363  chebbnd1lem2  27449  selberg3lem1  27536  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  selberg4r  27549  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntibndlem2  27570  pntlemo  27586  ostth2lem3  27614  axeuclidlem  29047  pjhthlem1  31478  quad3d  32839  constrrtlc1  33909  cos9thpinconstrlem1  33966  signsplypnf  34727  hgt750leme  34835  subfaclim  35401  circum  35887  faclimlem1  35956  faclimlem3  35958  knoppndvlem2  36732  knoppndvlem7  36737  knoppndvlem17  36747  itg2addnclem  37916  dvasin  37949  areacirclem1  37953  lcmineqlem11  42403  lcmineqlem18  42410  dvrelogpow2b  42432  aks4d1p1p7  42438  pellexlem6  43185  reglogexp  43245  sqrtcval  43991  binomcxplemwb  44698  binomcxplemnotnn0  44706  0ellimcdiv  46001  stoweidlem1  46353  wallispilem4  46420  stirlinglem3  46428  stirlinglem4  46429  stirlinglem7  46432  dirkertrigeq  46453  dirkercncflem2  46456  fourierdlem30  46489  fourierdlem83  46541  elaa2lem  46585  etransclem23  46609  etransclem24  46610  etransclem44  46630  etransclem45  46631  perfectALTVlem2  48076  itscnhlc0xyqsol  49119  itsclc0xyqsolr  49123  itsclquadb  49130