Theorem divassd 12029

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11894	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  zesq  14193  discr  14207  crre  15065  abs1m  15286  sqreulem  15310  o1rlimmul  15567  geoisum1c  15830  mertenslem1  15834  eftlub  16056  lcmgcdlem  16547  cncongr2  16609  isprm5  16648  pcaddlem  16825  pockthlem  16842  mul4sqlem  16890  4sqlem17  16898  odadd1  19757  nmoleub3  24866  ipcau2  24982  pjthlem1  25185  dvrec  25707  plyeq0lem  25959  aareccl  26075  dvradcnv  26169  abelthlem7  26186  tangtx  26251  tanarg  26363  logcnlem4  26389  mcubic  26588  cubic2  26589  dquart  26594  quart1lem  26596  quart1  26597  tanatan  26660  atantan  26664  dvatan  26676  atantayl  26678  log2cnv  26685  lgamgulmlem4  26772  basellem3  26823  perfectlem2  26969  bposlem1  27023  bposlem2  27024  lgsquad2lem1  27123  chebbnd1lem2  27209  selberg3lem1  27296  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  selberg4r  27309  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntibndlem2  27330  pntlemo  27346  ostth2lem3  27374  axeuclidlem  28487  pjhthlem1  30911  signsplypnf  33859  hgt750leme  33968  subfaclim  34477  circum  34957  faclimlem1  35017  faclimlem3  35019  knoppndvlem2  35692  knoppndvlem7  35697  knoppndvlem17  35707  itg2addnclem  36842  dvasin  36875  areacirclem1  36879  lcmineqlem11  41210  lcmineqlem18  41217  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p1p7  41245  pellexlem6  41874  reglogexp  41934  sqrtcval  42694  binomcxplemwb  43409  binomcxplemnotnn0  43417  0ellimcdiv  44663  stoweidlem1  45015  wallispilem4  45082  stirlinglem3  45090  stirlinglem4  45091  stirlinglem7  45094  dirkertrigeq  45115  dirkercncflem2  45118  fourierdlem30  45151  fourierdlem83  45203  elaa2lem  45247  etransclem23  45271  etransclem24  45272  etransclem44  45292  etransclem45  45293  perfectALTVlem2  46688  itscnhlc0xyqsol  47538  itsclc0xyqsolr  47542  itsclquadb  47549