Theorem divassd 11953

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  zesq  14151  discr  14165  crre  15039  abs1m  15261  sqreulem  15285  o1rlimmul  15544  geoisum1c  15805  mertenslem1  15809  eftlub  16036  lcmgcdlem  16535  cncongr2  16597  isprm5  16636  pcaddlem  16818  pockthlem  16835  mul4sqlem  16883  4sqlem17  16891  odadd1  19745  nmoleub3  25035  ipcau2  25150  pjthlem1  25353  dvrec  25875  plyeq0lem  26131  aareccl  26250  dvradcnv  26346  abelthlem7  26364  tangtx  26430  tanarg  26544  logcnlem4  26570  mcubic  26773  cubic2  26774  dquart  26779  quart1lem  26781  quart1  26782  tanatan  26845  atantan  26849  dvatan  26861  atantayl  26863  log2cnv  26870  lgamgulmlem4  26958  basellem3  27009  perfectlem2  27157  bposlem1  27211  bposlem2  27212  lgsquad2lem1  27311  chebbnd1lem2  27397  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selberg4  27488  selberg4r  27497  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem3  27506  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bndlem6  27510  pntibndlem2  27518  pntlemo  27534  ostth2lem3  27562  axeuclidlem  28925  pjhthlem1  31353  quad3d  32706  constrrtlc1  33698  cos9thpinconstrlem1  33755  signsplypnf  34517  hgt750leme  34625  subfaclim  35160  circum  35646  faclimlem1  35715  faclimlem3  35717  knoppndvlem2  36486  knoppndvlem7  36491  knoppndvlem17  36501  itg2addnclem  37650  dvasin  37683  areacirclem1  37687  lcmineqlem11  42012  lcmineqlem18  42019  dvrelogpow2b  42041  aks4d1p1p7  42047  pellexlem6  42807  reglogexp  42867  sqrtcval  43614  binomcxplemwb  44321  binomcxplemnotnn0  44329  0ellimcdiv  45631  stoweidlem1  45983  wallispilem4  46050  stirlinglem3  46058  stirlinglem4  46059  stirlinglem7  46062  dirkertrigeq  46083  dirkercncflem2  46086  fourierdlem30  46119  fourierdlem83  46171  elaa2lem  46215  etransclem23  46239  etransclem24  46240  etransclem44  46260  etransclem45  46261  perfectALTVlem2  47707  itscnhlc0xyqsol  48751  itsclc0xyqsolr  48755  itsclquadb  48762