Theorem divassd 12044

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  zesq  14282  discr  14296  crre  15191  abs1m  15413  sqreulem  15437  o1rlimmul  15696  geoisum1c  15960  mertenslem1  15964  eftlub  16190  lcmgcdlem  16689  cncongr2  16751  isprm5  16791  pcaddlem  16973  pockthlem  16990  mul4sqlem  17038  4sqlem17  17046  odadd1  19949  nmoleub3  25315  ipcau2  25430  pjthlem1  25633  dvrec  26151  plyeq0lem  26404  aareccl  26526  dvradcnv  26621  abelthlem7  26638  tangtx  26707  tanarg  26821  logcnlem4  26847  mcubic  27049  cubic2  27050  dquart  27055  quart1lem  27057  quart1  27058  tanatan  27121  atantan  27125  dvatan  27137  atantayl  27139  log2cnv  27146  lgamgulmlem4  27233  basellem3  27284  basellem8  27289  perfectlem2  27431  bposlem1  27485  bposlem2  27486  lgsquad2lem1  27585  chebbnd1lem2  27671  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  selberg4  27762  selberg4r  27771  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem3  27780  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  pntibndlem2  27792  pntlemo  27808  ostth2lem3  27836  axeuclidlem  29349  pjhthlem1  31780  quad3d  33131  constrrtlc1  34153  cos9thpinconstrlem1  34210  signsplypnf  34969  hgt750leme  35077  subfaclim  35701  circum  36187  faclimlem1  36256  faclimlem3  36258  knoppndvlem2  37143  knoppndvlem7  37148  knoppndvlem17  37158  itg2addnclem  38363  dvasin  38396  areacirclem1  38400  lcmineqlem11  42847  lcmineqlem18  42854  dvrelogpow2b  42876  aks4d1p1p7  42882  pellexlem6  43602  reglogexp  43662  sqrtcval  44408  binomcxplemwb  45099  binomcxplemnotnn0  45107  0ellimcdiv  46404  stoweidlem1  46756  wallispilem4  46823  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  stirlinglem7  46835  dirkertrigeq  46856  dirkercncflem2  46859  fourierdlem30  46892  fourierdlem83  46944  elaa2lem  46988  etransclem23  47012  etransclem24  47013  etransclem44  47033  etransclem45  47034  perfectALTVlem2  48528  itscnhlc0xyqsol  49586  itsclc0xyqsolr  49590  itsclquadb  49597