Theorem divassd 12109

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  zesq  14350  discr  14364  crre  15261  abs1m  15483  sqreulem  15507  o1rlimmul  15766  geoisum1c  16029  mertenslem1  16033  eftlub  16257  lcmgcdlem  16761  cncongr2  16823  isprm5  16863  pcaddlem  17046  pockthlem  17063  mul4sqlem  17111  4sqlem17  17119  odadd1  20042  nmoleub3  25420  ipcau2  25535  pjthlem1  25738  dvrec  26255  plyeq0lem  26509  aareccl  26635  dvradcnv  26730  abelthlem7  26747  tangtx  26816  tanarg  26929  logcnlem4  26955  mcubic  27157  cubic2  27158  dquart  27163  quart1lem  27165  quart1  27166  tanatan  27229  atantan  27233  dvatan  27245  atantayl  27247  log2cnv  27254  lgamgulmlem4  27341  basellem3  27392  basellem8  27397  perfectlem2  27539  bposlem1  27593  bposlem2  27594  lgsquad2lem1  27693  chebbnd1lem2  27779  selberg3lem1  27866  selberg4lem1  27869  selberg4  27870  selberg4r  27879  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem3  27888  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem5  27890  pntrlog2bndlem6  27892  pntibndlem2  27900  pntlemo  27916  ostth2lem3  27944  axeuclidlem  29522  pjhthlem1  31975  quad3d  33323  constrrtlc1  34346  cos9thpinconstrlem1  34403  signsplypnf  35162  hgt750leme  35270  subfaclim  35922  circum  36408  faclimlem1  36477  faclimlem3  36479  knoppndvlem2  37349  knoppndvlem7  37354  knoppndvlem17  37364  itg2addnclem  38557  dvasin  38590  areacirclem1  38594  lcmineqlem11  43057  lcmineqlem18  43064  dvrelogpow2b  43086  aks4d1p1p7  43092  pellexlem6  43794  reglogexp  43854  sqrtcval  44600  binomcxplemwb  45291  binomcxplemnotnn0  45299  0ellimcdiv  46603  stoweidlem1  46955  wallispilem4  47022  stirlinglem3  47030  stirlinglem4  47031  stirlinglem7  47034  dirkertrigeq  47055  dirkercncflem2  47058  fourierdlem30  47091  fourierdlem83  47143  elaa2lem  47187  etransclem23  47211  etransclem24  47212  etransclem44  47232  etransclem45  47233  perfectALTVlem2  48764  itscnhlc0xyqsol  49821  itsclc0xyqsolr  49825  itsclquadb  49832