Theorem divassd 12078

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  zesq  14265  discr  14279  crre  15153  abs1m  15374  sqreulem  15398  o1rlimmul  15655  geoisum1c  15916  mertenslem1  15920  eftlub  16145  lcmgcdlem  16643  cncongr2  16705  isprm5  16744  pcaddlem  16926  pockthlem  16943  mul4sqlem  16991  4sqlem17  16999  odadd1  19866  nmoleub3  25152  ipcau2  25268  pjthlem1  25471  dvrec  25993  plyeq0lem  26249  aareccl  26368  dvradcnv  26464  abelthlem7  26482  tangtx  26547  tanarg  26661  logcnlem4  26687  mcubic  26890  cubic2  26891  dquart  26896  quart1lem  26898  quart1  26899  tanatan  26962  atantan  26966  dvatan  26978  atantayl  26980  log2cnv  26987  lgamgulmlem4  27075  basellem3  27126  perfectlem2  27274  bposlem1  27328  bposlem2  27329  lgsquad2lem1  27428  chebbnd1lem2  27514  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  selberg4r  27614  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntibndlem2  27635  pntlemo  27651  ostth2lem3  27679  axeuclidlem  28977  pjhthlem1  31410  quad3d  32754  constrrtlc1  33773  signsplypnf  34565  hgt750leme  34673  subfaclim  35193  circum  35679  faclimlem1  35743  faclimlem3  35745  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem17  36529  itg2addnclem  37678  dvasin  37711  areacirclem1  37715  lcmineqlem11  42040  lcmineqlem18  42047  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p7  42075  pellexlem6  42845  reglogexp  42905  sqrtcval  43654  binomcxplemwb  44367  binomcxplemnotnn0  44375  0ellimcdiv  45664  stoweidlem1  46016  wallispilem4  46083  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem7  46095  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem2  46119  fourierdlem30  46152  fourierdlem83  46204  elaa2lem  46248  etransclem23  46272  etransclem24  46273  etransclem44  46293  etransclem45  46294  perfectALTVlem2  47709  itscnhlc0xyqsol  48686  itsclc0xyqsolr  48690  itsclquadb  48697