Theorem divassd 11939

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  zesq  14135  discr  14149  crre  15023  abs1m  15245  sqreulem  15269  o1rlimmul  15528  geoisum1c  15789  mertenslem1  15793  eftlub  16020  lcmgcdlem  16519  cncongr2  16581  isprm5  16620  pcaddlem  16802  pockthlem  16819  mul4sqlem  16867  4sqlem17  16875  odadd1  19762  nmoleub3  25047  ipcau2  25162  pjthlem1  25365  dvrec  25887  plyeq0lem  26143  aareccl  26262  dvradcnv  26358  abelthlem7  26376  tangtx  26442  tanarg  26556  logcnlem4  26582  mcubic  26785  cubic2  26786  dquart  26791  quart1lem  26793  quart1  26794  tanatan  26857  atantan  26861  dvatan  26873  atantayl  26875  log2cnv  26882  lgamgulmlem4  26970  basellem3  27021  perfectlem2  27169  bposlem1  27223  bposlem2  27224  lgsquad2lem1  27323  chebbnd1lem2  27409  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  selberg4  27500  selberg4r  27509  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem3  27518  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522  pntibndlem2  27530  pntlemo  27546  ostth2lem3  27574  axeuclidlem  28942  pjhthlem1  31373  quad3d  32737  constrrtlc1  33766  cos9thpinconstrlem1  33823  signsplypnf  34584  hgt750leme  34692  subfaclim  35253  circum  35739  faclimlem1  35808  faclimlem3  35810  knoppndvlem2  36578  knoppndvlem7  36583  knoppndvlem17  36593  itg2addnclem  37731  dvasin  37764  areacirclem1  37768  lcmineqlem11  42152  lcmineqlem18  42159  dvrelogpow2b  42181  aks4d1p1p7  42187  pellexlem6  42951  reglogexp  43011  sqrtcval  43758  binomcxplemwb  44465  binomcxplemnotnn0  44473  0ellimcdiv  45771  stoweidlem1  46123  wallispilem4  46190  stirlinglem3  46198  stirlinglem4  46199  stirlinglem7  46202  dirkertrigeq  46223  dirkercncflem2  46226  fourierdlem30  46259  fourierdlem83  46311  elaa2lem  46355  etransclem23  46379  etransclem24  46380  etransclem44  46400  etransclem45  46401  perfectALTVlem2  47846  itscnhlc0xyqsol  48890  itsclc0xyqsolr  48894  itsclquadb  48901