Theorem divassd 11643

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11508	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734   / cdiv 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490

This theorem is referenced by:  zesq  13793  discr  13807  crre  14677  abs1m  14899  sqreulem  14923  o1rlimmul  15180  geoisum1c  15444  mertenslem1  15448  eftlub  15670  lcmgcdlem  16163  cncongr2  16225  isprm5  16264  pcaddlem  16441  pockthlem  16458  mul4sqlem  16506  4sqlem17  16514  odadd1  19233  nmoleub3  24016  ipcau2  24131  pjthlem1  24334  dvrec  24852  plyeq0lem  25104  aareccl  25219  dvradcnv  25313  abelthlem7  25330  tangtx  25395  tanarg  25507  logcnlem4  25533  mcubic  25730  cubic2  25731  dquart  25736  quart1lem  25738  quart1  25739  tanatan  25802  atantan  25806  dvatan  25818  atantayl  25820  log2cnv  25827  lgamgulmlem4  25914  basellem3  25965  perfectlem2  26111  bposlem1  26165  bposlem2  26166  lgsquad2lem1  26265  chebbnd1lem2  26351  selberg3lem1  26438  selberg4lem1  26441  selberg4  26442  selberg4r  26451  pntrlog2bndlem2  26459  pntrlog2bndlem3  26460  pntrlog2bndlem4  26461  pntrlog2bndlem5  26462  pntrlog2bndlem6  26464  pntibndlem2  26472  pntlemo  26488  ostth2lem3  26516  axeuclidlem  27053  pjhthlem1  29472  signsplypnf  32241  hgt750leme  32350  subfaclim  32863  circum  33345  faclimlem1  33427  faclimlem3  33429  knoppndvlem2  34430  knoppndvlem7  34435  knoppndvlem17  34445  itg2addnclem  35565  dvasin  35598  areacirclem1  35602  lcmineqlem11  39781  lcmineqlem18  39788  dvrelogpow2b  39809  aks4d1p1p7  39815  pellexlem6  40359  reglogexp  40419  sqrtcval  40925  binomcxplemwb  41639  binomcxplemnotnn0  41647  0ellimcdiv  42865  stoweidlem1  43217  wallispilem4  43284  stirlinglem3  43292  stirlinglem4  43293  stirlinglem7  43296  dirkertrigeq  43317  dirkercncflem2  43320  fourierdlem30  43353  fourierdlem83  43405  elaa2lem  43449  etransclem23  43473  etransclem24  43474  etransclem44  43494  etransclem45  43495  perfectALTVlem2  44847  itscnhlc0xyqsol  45784  itsclc0xyqsolr  45788  itsclquadb  45795