Theorem divassd 12027

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  zesq  14264  discr  14278  crre  15167  abs1m  15389  sqreulem  15413  o1rlimmul  15672  geoisum1c  15936  mertenslem1  15940  eftlub  16166  lcmgcdlem  16665  cncongr2  16727  isprm5  16767  pcaddlem  16949  pockthlem  16966  mul4sqlem  17014  4sqlem17  17022  odadd1  19919  nmoleub3  25259  ipcau2  25374  pjthlem1  25577  dvrec  26095  plyeq0lem  26348  aareccl  26468  dvradcnv  26562  abelthlem7  26579  tangtx  26648  tanarg  26762  logcnlem4  26788  mcubic  26990  cubic2  26991  dquart  26996  quart1lem  26998  quart1  26999  tanatan  27062  atantan  27066  dvatan  27078  atantayl  27080  log2cnv  27087  lgamgulmlem4  27174  basellem3  27225  perfectlem2  27372  bposlem1  27426  bposlem2  27427  lgsquad2lem1  27526  chebbnd1lem2  27612  selberg3lem1  27699  selberg4lem1  27702  selberg4  27703  selberg4r  27712  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem3  27721  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem5  27723  pntrlog2bndlem6  27725  pntibndlem2  27733  pntlemo  27749  ostth2lem3  27777  axeuclidlem  29290  pjhthlem1  31721  quad3d  33072  constrrtlc1  34100  cos9thpinconstrlem1  34157  signsplypnf  34915  hgt750leme  35023  subfaclim  35658  circum  36144  faclimlem1  36213  faclimlem3  36215  knoppndvlem2  37080  knoppndvlem7  37085  knoppndvlem17  37095  itg2addnclem  38300  dvasin  38333  areacirclem1  38337  lcmineqlem11  42784  lcmineqlem18  42791  dvrelogpow2b  42813  aks4d1p1p7  42819  pellexlem6  43541  reglogexp  43601  sqrtcval  44347  binomcxplemwb  45038  binomcxplemnotnn0  45046  0ellimcdiv  46343  stoweidlem1  46695  wallispilem4  46762  stirlinglem3  46770  stirlinglem4  46771  stirlinglem7  46774  dirkertrigeq  46795  dirkercncflem2  46798  fourierdlem30  46831  fourierdlem83  46883  elaa2lem  46927  etransclem23  46951  etransclem24  46952  etransclem44  46972  etransclem45  46973  perfectALTVlem2  48464  itscnhlc0xyqsol  49522  itsclc0xyqsolr  49526  itsclquadb  49533