Theorem zexpgcd 16603

Description: Exponentiation distributes over GCD. zgcdsq 16791 extended to nonnegative exponents. nn0expgcd 16602 extended to integer bases by symmetry. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zexpgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem zexpgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdabs 16569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
3	2	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)))
4	3	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁))
5		nn0abscl 15352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
6		nn0abscl 15352	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0expgcd 16602	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
10		zcn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	absexpd 15492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
14	13	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (abs‘(𝐴↑𝑁)))
15		zcn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 12	absexpd 15492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑𝑁)) = ((abs‘𝐵)↑𝑁))
18	17	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵)↑𝑁) = (abs‘(𝐵↑𝑁)))
19	14, 18	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))))
20		zexpcl 14118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
22		zexpcl 14118	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
23	22	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
24		gcdabs 16569	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
26	19, 25	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
27	4, 9, 26	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14103  abscabs 15274   gcd cgcd 16532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533

This theorem is referenced by:  numdenexp  16798