Theorem zexpgcd 16511

Description: Exponentiation distributes over GCD. zgcdsq 16699 extended to nonnegative exponents. nn0expgcd 16510 extended to integer bases by symmetry. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zexpgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem zexpgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdabs 16477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)) = (𝐴 gcd 𝐵))
3	2	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵)))
4	3	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁))
5		nn0abscl 15254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
6		nn0abscl 15254	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0expgcd 16510	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝐵))↑𝑁) = (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
10		zcn 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	absexpd 15397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
14	13	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑁) = (abs‘(𝐴↑𝑁)))
15		zcn 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 12	absexpd 15397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑𝑁)) = ((abs‘𝐵)↑𝑁))
18	17	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵)↑𝑁) = (abs‘(𝐵↑𝑁)))
19	14, 18	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))))
20		zexpcl 14017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
22		zexpcl 14017	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
23	22	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
24		gcdabs 16477	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) gcd (abs‘(𝐵↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
26	19, 25	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑁) gcd ((abs‘𝐵)↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
27	4, 9, 26	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ↑cexp 14002  abscabs 15176   gcd cgcd 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441

This theorem is referenced by:  numdenexp  16706