Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenexp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem numdenexp 41228
Description: numdensq 16690 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
numdenexp ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((numerβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∧ (denomβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
Proof of Theorem numdenexp
StepHypRef Expression
1 qnumdencoprm 16681 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜π΄) gcd (denomβ€˜π΄)) = 1)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((numerβ€˜π΄) gcd (denomβ€˜π΄)) = 1)
32oveq1d 7424 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((numerβ€˜π΄) gcd (denomβ€˜π΄))↑𝑁) = (1↑𝑁))
4 qnumcl 16676 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„€)
54adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„€)
6 qdencl 16677 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„•)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„•)
87nnzd 12585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„€)
9 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 zexpgcd 41227 . . . 4 (((numerβ€˜π΄) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π΄) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((numerβ€˜π΄) gcd (denomβ€˜π΄))↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) gcd ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
115, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((numerβ€˜π΄) gcd (denomβ€˜π΄))↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) gcd ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
12 nn0z 12583 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13 1exp 14057 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑁) = 1)
149, 12, 133syl 18 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (1↑𝑁) = 1)
153, 11, 143eqtr3d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) gcd ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)) = 1)
16 qeqnumdivden 16682 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„š β†’ 𝐴 = ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)))
1716adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 = ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)))
1817oveq1d 7424 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄))↑𝑁))
195zcnd 12667 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„‚)
207nncnd 12228 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„‚)
217nnne0d 12262 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (denomβ€˜π΄) β‰  0)
2219, 20, 21, 9expdivd 14125 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄))↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) / ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
2318, 22eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) / ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
24 qexpcl 14043 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑁) ∈ β„š)
25 zexpcl 14042 . . . 4 (((numerβ€˜π΄) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„€)
264, 25sylan 581 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„€)
277, 9nnexpcld 14208 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((denomβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„•)
28 qnumdenbi 16680 . . 3 (((𝐴↑𝑁) ∈ β„š ∧ ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„€ ∧ ((denomβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„•) β†’ (((((numerβ€˜π΄)↑𝑁) gcd ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) / ((denomβ€˜π΄)↑𝑁))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∧ (denomβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((denomβ€˜π΄)↑𝑁))))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((((numerβ€˜π΄)↑𝑁) gcd ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numerβ€˜π΄)↑𝑁) / ((denomβ€˜π΄)↑𝑁))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∧ (denomβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((denomβ€˜π΄)↑𝑁))))
3015, 23, 29mpbi2and 711 1 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((numerβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((numerβ€˜π΄)↑𝑁) ∧ (denomβ€˜(𝐴↑𝑁)) = ((denomβ€˜π΄)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„šcq 12932  β†‘cexp 14027   gcd cgcd 16435  numercnumer 16669  denomcdenom 16670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672
This theorem is referenced by:  numexp  41229  denexp  41230
  Copyright terms: Public domain W3C validator