Theorem numdenexp 16794

Description: Elevating a rational number to the power 𝑁 has the same effect on its canonical components. Same as numdensq 16788, extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
numdenexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Proof of Theorem numdenexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 16779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
3	2	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
4		qnumcl 16774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6		qdencl 16775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		zexpgcd 16599	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
11	5, 8, 9, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
12		nn0z 12636	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		1exp 14129	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
14	9, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
15	3, 11, 14	3eqtr3d 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1)
16		qeqnumdivden 16780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁))
19	5	zcnd 12721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
20	7	nncnd 12280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
21	7	nnne0d 12314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ≠ 0)
22	19, 20, 21, 9	expdivd 14197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
23	18, 22	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
24		qexpcl 14115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
25		zexpcl 14114	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
27	7, 9	nnexpcld 14281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ)
28		qnumdenbi 16778	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
30	15, 23, 29	mpbi2and 712	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℚcq 12988  ↑cexp 14099   gcd cgcd 16528  numercnumer 16767  denomcdenom 16768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-numer 16769  df-denom 16770

This theorem is referenced by:  numexp  16795  denexp  16796