Theorem numdenexp 16917

Description: Elevating a rational number to the power 𝑁 has the same effect on its canonical components. Same as numdensq 16910, extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
numdenexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Proof of Theorem numdenexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 16901	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
3	2	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
4		qnumcl 16896	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6		qdencl 16897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		zexpgcd 16719	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
11	5, 8, 9, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
12		nn0z 12698	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		1exp 14214	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
14	9, 12, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
15	3, 11, 14	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1)
16		qeqnumdivden 16902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁))
19	5	zcnd 12785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
20	7	nncnd 12332	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
21	7	nnne0d 12369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ≠ 0)
22	19, 20, 21, 9	expdivd 14283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
23	18, 22	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
24		qexpcl 14200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
25		zexpcl 14199	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
27	7, 9	nnexpcld 14369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ)
28		qnumdenbi 16900	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
30	15, 23, 29	mpbi2and 725	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℚcq 13056  ↑cexp 14184   gcd cgcd 16644  numercnumer 16889  denomcdenom 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-numer 16891  df-denom 16892

This theorem is used by:  numexp  16918  denexp  16919