Theorem numdenexp 16721

Description: Elevating a rational number to the power 𝑁 has the same effect on its canonical components. Same as numdensq 16715, extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
numdenexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Proof of Theorem numdenexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 16706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
3	2	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
4		qnumcl 16701	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6		qdencl 16702	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		zexpgcd 16525	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
11	5, 8, 9, 10	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
12		nn0z 12539	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		1exp 14044	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
14	9, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
15	3, 11, 14	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1)
16		qeqnumdivden 16707	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁))
19	5	zcnd 12625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
20	7	nncnd 12181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
21	7	nnne0d 12218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ≠ 0)
22	19, 20, 21, 9	expdivd 14113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
23	18, 22	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
24		qexpcl 14030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
25		zexpcl 14029	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
27	7, 9	nnexpcld 14198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ)
28		qnumdenbi 16705	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
30	15, 23, 29	mpbi2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℚcq 12889  ↑cexp 14014   gcd cgcd 16454  numercnumer 16694  denomcdenom 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697

This theorem is referenced by:  numexp  16722  denexp  16723