Theorem numdenexp 16730

Description: Elevating a rational number to the power 𝑁 has the same effect on its canonical components. Same as numdensq 16724, extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 5-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
numdenexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Proof of Theorem numdenexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnumdencoprm 16715	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1)
3	2	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
4		qnumcl 16710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6		qdencl 16711	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12556	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		zexpgcd 16535	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
11	5, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
12		nn0z 12554	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		1exp 14056	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
14	9, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
15	3, 11, 14	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1)
16		qeqnumdivden 16716	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁))
19	5	zcnd 12639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
20	7	nncnd 12202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ∈ ℂ)
21	7	nnne0d 12236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (denom‘𝐴) ≠ 0)
22	19, 20, 21, 9	expdivd 14125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
23	18, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁)))
24		qexpcl 14042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℚ)
25		zexpcl 14041	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ)
27	7, 9	nnexpcld 14210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ)
28		qnumdenbi 16714	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℚ ∧ ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((denom‘𝐴)↑𝑁) ∈ ℕ) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((((numer‘𝐴)↑𝑁) gcd ((denom‘𝐴)↑𝑁)) = 1 ∧ (𝐴↑𝑁) = (((numer‘𝐴)↑𝑁) / ((denom‘𝐴)↑𝑁))) ↔ ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁))))
30	15, 23, 29	mpbi2and 712	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((numer‘(𝐴↑𝑁)) = ((numer‘𝐴)↑𝑁) ∧ (denom‘(𝐴↑𝑁)) = ((denom‘𝐴)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℚcq 12907  ↑cexp 14026   gcd cgcd 16464  numercnumer 16703  denomcdenom 16704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-numer 16705  df-denom 16706

This theorem is referenced by:  numexp  16731  denexp  16732