Theorem 1to2vfriswmgr 28643

Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to2vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1vwmgr 28640	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
3	2	expcom 414	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
8		3vfriswmgr.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	eqeq1i 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
10	9	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11		nfrgr2v 28636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
12	7, 10, 11	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13		df-nel 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
14	12, 13	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
15	14	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16	15	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
17	16	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
18	17	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19		ianor 979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
20		prprc2 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21		nne 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
22		preq2 4670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
23	22	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24		dfsn2 4574	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
25	23, 24	eqtr4di 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	21, 25	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
27	20, 26	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
28	19, 27	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
29	28	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30	29, 3	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
31	18, 30	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
32	3, 31	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
33	32	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  28644