MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to2vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to2vfriswmgr 29796
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 1vwmgr 29793 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21a1d 25 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
32expcom 413 . . 3 (𝑉 = {𝐴} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
5 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝐵)
74, 5, 63jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
8 3vfriswmgr.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
109biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11 nfrgr2v 29789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
127, 10, 11syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13 df-nel 3046 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1514pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1615expcom 413 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
1716ex 412 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
1817com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵))
20 prprc2 4771 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21 nne 2943 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
22 preq2 4739 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2322eqcoms 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24 dfsn2 4642 . . . . . . . . . 10 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2523, 24eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2621, 25sylbi 216 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2720, 26jaoi 854 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2928eqeq2d 2742 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
3029, 3syl6bi 252 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3118, 30pm2.61i 182 . . 3 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
323, 31jaoi 854 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3332impcom 407 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wnel 3045  wral 3060  wrex 3069  ∃!wreu 3373  Vcvv 3473  cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  cfv 6544  Vtxcvtx 28520  Edgcedg 28571   FriendGraph cfrgr 29775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28572  df-umgr 28607  df-usgr 28675  df-frgr 29776
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  29797
  Copyright terms: Public domain W3C validator