MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to2vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to2vfriswmgr 30161
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 1vwmgr 30158 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21a1d 25 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
32expcom 412 . . 3 (𝑉 = {𝐴} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
5 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝐵)
74, 5, 63jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
8 3vfriswmgr.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98eqeq1i 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
109biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11 nfrgr2v 30154 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
127, 10, 11syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13 df-nel 3036 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1514pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1615expcom 412 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
1716ex 411 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
1817com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵))
20 prprc2 4772 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21 nne 2933 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
22 preq2 4740 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2322eqcoms 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24 dfsn2 4643 . . . . . . . . . 10 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2523, 24eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2621, 25sylbi 216 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2720, 26jaoi 855 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2928eqeq2d 2736 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
3029, 3biimtrdi 252 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3118, 30pm2.61i 182 . . 3 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
323, 31jaoi 855 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3332impcom 406 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wnel 3035  wral 3050  wrex 3059  ∃!wreu 3361  Vcvv 3461  cdif 3941  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6549  Vtxcvtx 28881  Edgcedg 28932   FriendGraph cfrgr 30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-umgr 28968  df-usgr 29036  df-frgr 30141
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  30162
  Copyright terms: Public domain W3C validator