Theorem 1to2vfriswmgr 30161

Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to2vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1vwmgr 30158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
3	2	expcom 412	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
8		3vfriswmgr.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	eqeq1i 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
10	9	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11		nfrgr2v 30154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
12	7, 10, 11	syl2anr 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13		df-nel 3036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
14	12, 13	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
15	14	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16	15	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
17	16	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
18	17	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19		ianor 979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
20		prprc2 4772	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21		nne 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
22		preq2 4740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
23	22	eqcoms 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24		dfsn2 4643	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
25	23, 24	eqtr4di 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	21, 25	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
27	20, 26	jaoi 855	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
28	19, 27	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
29	28	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30	29, 3	biimtrdi 252	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
31	18, 30	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
32	3, 31	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
33	32	impcom 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3361  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941  {csn 4630  {cpr 4632  ‘cfv 6549  Vtxcvtx 28881  Edgcedg 28932   FriendGraph cfrgr 30140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-umgr 28968  df-usgr 29036  df-frgr 30141

This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  30162