MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to2vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to2vfriswmgr 30308
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 1vwmgr 30305 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21a1d 25 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
32expcom 413 . . 3 (𝑉 = {𝐴} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
5 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝐵)
74, 5, 63jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
8 3vfriswmgr.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98eqeq1i 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
109biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11 nfrgr2v 30301 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
127, 10, 11syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13 df-nel 3045 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1412, 13sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1514pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1615expcom 413 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
1716ex 412 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
1817com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19 ianor 983 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵))
20 prprc2 4771 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21 nne 2942 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
22 preq2 4739 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2322eqcoms 2743 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24 dfsn2 4644 . . . . . . . . . 10 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2523, 24eqtr4di 2793 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2621, 25sylbi 217 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2720, 26jaoi 857 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2819, 27sylbi 217 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2928eqeq2d 2746 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
3029, 3biimtrdi 253 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3118, 30pm2.61i 182 . . 3 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
323, 31jaoi 857 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3332impcom 407 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-umgr 29115  df-usgr 29183  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  30309
  Copyright terms: Public domain W3C validator