Theorem 1to2vfriswmgr 30215

Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to2vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1vwmgr 30212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
3	2	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
8		3vfriswmgr.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	eqeq1i 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
10	9	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11		nfrgr2v 30208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
12	7, 10, 11	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13		df-nel 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
14	12, 13	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
15	14	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16	15	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
18	17	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19		ianor 983	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
20		prprc2 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21		nne 2930	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
22		preq2 4701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
23	22	eqcoms 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24		dfsn2 4605	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
25	23, 24	eqtr4di 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	21, 25	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
27	20, 26	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
28	19, 27	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
29	28	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30	29, 3	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
31	18, 30	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
32	3, 31	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
33	32	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3354  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981   FriendGraph cfrgr 30194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-umgr 29017  df-usgr 29085  df-frgr 30195

This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  30216