Theorem 1to2vfriswmgr 30371

Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to2vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1vwmgr 30368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
3	2	expcom 415	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		simpll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6		simplr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
8		3vfriswmgr.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	eqeq1i 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
10	9	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11		nfrgr2v 30364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
12	7, 10, 11	syl2anr 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13		df-nel 3041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
14	12, 13	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
15	14	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16	15	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
17	16	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
18	17	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19		ianor 990	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
20		prprc2 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21		nne 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
22		preq2 4669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
23	22	eqcoms 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24		dfsn2 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
25	23, 24	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	21, 25	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
27	20, 26	jaoi 864	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
28	19, 27	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
29	28	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30	29, 3	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
31	18, 30	pm2.61i 183	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
32	3, 31	jaoi 864	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
33	32	impcom 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6489  Vtxcvtx 29087  Edgcedg 29138   FriendGraph cfrgr 30350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-edg 29139  df-umgr 29174  df-usgr 29242  df-frgr 30351

This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  30372