MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to2vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to2vfriswmgr 27746
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 1vwmgr 27743 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21a1d 25 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
32expcom 414 . . 3 (𝑉 = {𝐴} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
5 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝐵)
74, 5, 63jca 1121 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
8 3vfriswmgr.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98eqeq1i 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
109biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11 nfrgr2v 27739 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
127, 10, 11syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13 df-nel 3093 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1412, 13sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1514pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1615expcom 414 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
1716ex 413 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
1817com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19 ianor 976 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵))
20 prprc2 4615 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21 nne 2990 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
22 preq2 4583 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2322eqcoms 2805 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24 dfsn2 4491 . . . . . . . . . 10 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2523, 24syl6eqr 2851 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2621, 25sylbi 218 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2720, 26jaoi 852 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2819, 27sylbi 218 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2928eqeq2d 2807 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
3029, 3syl6bi 254 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3118, 30pm2.61i 183 . . 3 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
323, 31jaoi 852 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3332impcom 408 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wnel 3092  wral 3107  wrex 3108  ∃!wreu 3109  Vcvv 3440  cdif 3862  {csn 4478  {cpr 4480  cfv 6232  Vtxcvtx 26468  Edgcedg 26519   FriendGraph cfrgr 27723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-hash 13545  df-edg 26520  df-umgr 26555  df-usgr 26623  df-frgr 27724
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  27747
  Copyright terms: Public domain W3C validator