MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1to2vfriswmgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1to2vfriswmgr 29265
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3vfriswmgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgr ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,,𝑣,𝑤   𝐵,,𝑣   ,𝐸,𝑣   ,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,)   𝑋(𝑣,)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgr
StepHypRef Expression
1 1vwmgr 29262 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21a1d 25 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑉 = {𝐴}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
32expcom 415 . . 3 (𝑉 = {𝐴} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
4 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
5 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
6 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝐵)
74, 5, 63jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
8 3vfriswmgr.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
109biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵})
11 nfrgr2v 29258 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
127, 10, 11syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
13 df-nel 3051 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1412, 13sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
1514pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1615expcom 415 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
1716ex 414 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑋 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
1817com23 86 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
19 ianor 981 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵))
20 prprc2 4732 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
21 nne 2948 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
22 preq2 4700 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2322eqcoms 2745 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
24 dfsn2 4604 . . . . . . . . . 10 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2523, 24eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2621, 25sylbi 216 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2720, 26jaoi 856 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2928eqeq2d 2748 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑉 = {𝐴}))
3029, 3syl6bi 253 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
3118, 30pm2.61i 182 . . 3 (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
323, 31jaoi 856 . 2 ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
3332impcom 409 1 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {})({𝑣, } ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wnel 3050  wral 3065  wrex 3074  ∃!wreu 3354  Vcvv 3448  cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  cfv 6501  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-umgr 28076  df-usgr 28144  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  29266
  Copyright terms: Public domain W3C validator