Theorem absprodnn 16400

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers not containing 0 is a poitive integer. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
absprodnn.z	⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
absprodnn	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑧)

Proof of Theorem absprodnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
2		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
3		absproddvds.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
4	3	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
5	2, 4	fprodzcl 15743	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
6	4	zcnd 12507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
7		absprodnn.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)
8		elnelne2 3058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
9	8	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ 𝑍 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
11	10	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
12	2, 6, 11	fprodn0 15768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0)
13		nnabscl 15116	. . 3 ⊢ ((∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0) → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
14	5, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
15	1, 14	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   ∉ wnel 3047   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6466  Fincfn 8783  0cc0 10951  ℕcn 12053  ℤcz 12399  abscabs 15024  ∏cprod 15694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-sup 9278  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-seq 13802  df-exp 13863  df-hash 14125  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-clim 15276  df-prod 15695

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  16401