Theorem absprodnn 16559

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers not containing 0 is a poitive integer. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
absprodnn.z	⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
absprodnn	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑧)

Proof of Theorem absprodnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
2		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
3		absproddvds.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
4	3	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
5	2, 4	fprodzcl 15891	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
6	4	zcnd 12611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
7		absprodnn.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)
8		elnelne2 3049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
9	8	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ 𝑍 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
12	2, 6, 11	fprodn0 15916	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0)
13		nnabscl 15263	. . 3 ⊢ ((∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0) → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
14	5, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
15	1, 14	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  Fincfn 8897  0cc0 11040  ℕcn 12159  ℤcz 12502  abscabs 15171  ∏cprod 15840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-prod 15841

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  16560