Theorem fissn0dvds 16695

Description: For each finite subset of the integers not containing 0 there is a positive integer which is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fissn0dvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem fissn0dvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ⊆ ℤ)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ∈ Fin)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 0 ∉ 𝑍)
5	1, 2, 3, 4	absprodnn 16694	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) ∈ ℕ)
6		breq2 5115	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
7	6	ralbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
9	1, 2, 3	absproddvds 16693	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘))
10	5, 8, 9	rspcedvd 3585	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Fincfn 8945  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℤcz 12602  abscabs 15305  ∏cprod 15976   ∥ cdvds 16328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-prod 15977  df-dvds 16329

This theorem is used by:  fissn0dvdsn0  16696