Theorem fissn0dvds 16673

Description: For each finite subset of the integers not containing 0 there is a positive integer which is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fissn0dvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem fissn0dvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ⊆ ℤ)
2		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ∈ Fin)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)
4		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 0 ∉ 𝑍)
5	1, 2, 3, 4	absprodnn 16672	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) ∈ ℕ)
6		breq2 5114	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
7	6	ralbidv 3194	. . 3 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
8	7	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
9	1, 2, 3	absproddvds 16671	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘))
10	5, 8, 9	rspcedvd 3592	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  Fincfn 8939  0cc0 11096  ℕcn 12229  ℤcz 12587  abscabs 15281  ∏cprod 15953   ∥ cdvds 16306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  fissn0dvdsn0  16674