Theorem fissn0dvds 16548

Description: For each finite subset of the integers not containing 0 there is a positive integer which is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fissn0dvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem fissn0dvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ⊆ ℤ)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑍 ∈ Fin)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)
4		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → 0 ∉ 𝑍)
5	1, 2, 3, 4	absprodnn 16547	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) ∈ ℕ)
6		breq2 5099	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
7	6	ralbidv 3152	. . 3 ⊢ (𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑛 = (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘)))
9	1, 2, 3	absproddvds 16546	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑘 ∈ 𝑍 𝑘))
10	5, 8, 9	rspcedvd 3581	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  0cc0 11028  ℕcn 12146  ℤcz 12489  abscabs 15159  ∏cprod 15828   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  fissn0dvdsn0  16549