Theorem absproddvds 16577

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
absproddvds	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem absproddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
2		absproddvds.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
3	1, 2	fproddvdsd 16295	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
4	2	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	2	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
6	1, 5	fprodzcl 15910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 16235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
9	4, 7, 8	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
10	9	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
11	10	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
12	3, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
13		absproddvds.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
14	13	breq2i 5094	. . 3 ⊢ (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
15	14	ralbii 3084	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
16	12, 15	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  ℤcz 12515  abscabs 15187  ∏cprod 15859   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  16579