Theorem absproddvds 16708

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
absproddvds	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧, 𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem absproddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
2		absproddvds.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
3	1, 2	fproddvdsd 16426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
4	2	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	2	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
6	1, 5	fprodzcl 16042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 16366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
9	4, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
10	9	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
11	10	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
12	3, 11	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
13		absproddvds.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
14	13	breq2i 5111	. . 3 ⊢ (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
15	14	ralbii 3108	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
16	12, 15	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Fincfn 8953  ℤcz 12616  abscabs 15322  ∏cprod 15993   ∥ cdvds 16343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-prod 15994  df-dvds 16344

This theorem is used by:  fissn0dvds  16710