Theorem absproddvds 15736

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
absproddvds	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem absproddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
2		absproddvds.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
3	1, 2	fproddvdsd 15463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
4	2	sselda 3821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	2	sselda 3821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
6	1, 5	fprodzcl 15087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
7	6	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 15408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
9	4, 7, 8	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
10	9	biimpd 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
11	10	ralimdva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
12	3, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
13		absproddvds.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
14	13	breq2i 4894	. . 3 ⊢ (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
15	14	ralbii 3162	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
16	12, 15	sylibr 226	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  Fincfn 8241  ℤcz 11728  abscabs 14381  ∏cprod 15038   ∥ cdvds 15387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039  df-dvds 15388

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  15738