MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplasclf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplasclf 20212
Description: The scalar injection is a function into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplasclf.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplasclf.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplasclf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplasclf.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplasclf.i (𝜑𝐼𝑊)
mplasclf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mplasclf (𝜑𝐴:𝐾𝐵)

Proof of Theorem mplasclf
StepHypRef Expression
1 mplasclf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
2 mplasclf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 mplasclf.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
4 eqid 2826 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5 mplasclf.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
65mplring 20167 . . . 4 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
75mpllmod 20166 . . . 4 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
8 eqid 2826 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9 mplasclf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
103, 4, 6, 7, 8, 9asclf 20046 . . 3 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵)
111, 2, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵)
12 mplasclf.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
135, 1, 2mplsca 20160 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1413fveq2d 6673 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1512, 14syl5eq 2873 . . 3 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1615feq2d 6499 . 2 (𝜑 → (𝐴:𝐾𝐵𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵))
1711, 16mpbird 258 1 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563  Ringcrg 19233  algSccascl 20019   mPoly cmpl 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-ascl 20022  df-psr 20071  df-mpl 20073
This theorem is referenced by:  evlseu  20231  evlssca  20237  selvval2lem4  39020  selvval2lem5  39021
  Copyright terms: Public domain W3C validator