MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatbas 22210
Description: The result of a matrix transformation is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 1-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatbas ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2733 . . 3 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
61, 2, 3, 4, 5mat2pmatval 22208 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦))))
7 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10 simp1 1137 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
114fvexi 6902 . . . 4 𝑃 ∈ V
1211a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ V)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
144ply1ring 21752 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15143ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16153ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
174ply1lmod 21756 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18173ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
20 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
215, 13, 16, 19, 20, 8asclf 21418 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (algSc‘𝑃):(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
224ply1sca 21757 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2322fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
24233ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
25243ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2625feq2d 6700 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃) ↔ (algSc‘𝑃):(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
2721, 26mpbird 257 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
28 simp2 1138 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
29 simp3 1139 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
303eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
3130biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
32313ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
33323ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
34 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
352, 34matecl 21909 . . . . 5 ((𝑥𝑁𝑦𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3628, 29, 33, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 36ffvelcdmd 7083 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦)) ∈ (Base‘𝑃))
387, 8, 9, 10, 12, 37matbas2d 21907 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝐶))
396, 38eqeltrd 2834 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  Ringcrg 20047  LModclmod 20459  algSccascl 21391  Poly1cpl1 21683   Mat cmat 21889   matToPolyMat cmat2pmat 22188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-ascl 21394  df-psr 21444  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-ply1 21688  df-mat 21890  df-mat2pmat 22191
This theorem is referenced by:  mat2pmatbas0  22211  m2cpm  22225  m2pmfzmap  22231  monmatcollpw  22263  pmatcollpw  22265  chmatcl  22312  chmatval  22313  chpmat1dlem  22319  chpmat1d  22320  chpdmatlem1  22322  chpdmatlem2  22323  chpdmatlem3  22324  chfacfisf  22338  chfacfscmulgsum  22344  chfacfpmmulcl  22345  chfacfpmmul0  22346  chfacfpmmulgsum  22348  chfacfpmmulgsum2  22349  cayhamlem1  22350  cpmadugsumlemC  22359  cpmadugsumlemF  22360  cpmadugsumfi  22361  cpmidgsum2  22363
  Copyright terms: Public domain W3C validator