MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatbas 21490
Description: The result of a matrix transformation is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 1-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatbas ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2739 . . 3 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
61, 2, 3, 4, 5mat2pmatval 21488 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦))))
7 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10 simp1 1137 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
114fvexi 6701 . . . 4 𝑃 ∈ V
1211a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ V)
13 eqid 2739 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
144ply1ring 21036 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15143ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16153ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
174ply1lmod 21040 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18173ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
20 eqid 2739 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
215, 13, 16, 19, 20, 8asclf 20708 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (algSc‘𝑃):(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
224ply1sca 21041 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2322fveq2d 6691 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
24233ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
25243ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2625feq2d 6501 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃) ↔ (algSc‘𝑃):(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
2721, 26mpbird 260 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
28 simp2 1138 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
29 simp3 1139 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
303eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
3130biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
32313ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
33323ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
34 eqid 2739 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
352, 34matecl 21189 . . . . 5 ((𝑥𝑁𝑦𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3628, 29, 33, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 36ffvelrnd 6875 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦)) ∈ (Base‘𝑃))
387, 8, 9, 10, 12, 37matbas2d 21187 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑥𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝐶))
396, 38eqeltrd 2834 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3400  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  cmpo 7185  Fincfn 8568  Basecbs 16599  Scalarcsca 16684  Ringcrg 19429  LModclmod 19766  algSccascl 20681  Poly1cpl1 20965   Mat cmat 21171   matToPolyMat cmat2pmat 21468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-hom 16705  df-cco 16706  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-prds 16837  df-pws 16839  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-dsmm 20561  df-frlm 20576  df-ascl 20684  df-psr 20735  df-mpl 20737  df-opsr 20739  df-psr1 20968  df-ply1 20970  df-mat 21172  df-mat2pmat 21471
This theorem is referenced by:  mat2pmatbas0  21491  m2cpm  21505  m2pmfzmap  21511  monmatcollpw  21543  pmatcollpw  21545  chmatcl  21592  chmatval  21593  chpmat1dlem  21599  chpmat1d  21600  chpdmatlem1  21602  chpdmatlem2  21603  chpdmatlem3  21604  chfacfisf  21618  chfacfscmulgsum  21624  chfacfpmmulcl  21625  chfacfpmmul0  21626  chfacfpmmulgsum  21628  chfacfpmmulgsum2  21629  cayhamlem1  21630  cpmadugsumlemC  21639  cpmadugsumlemF  21640  cpmadugsumfi  21641  cpmidgsum2  21643
  Copyright terms: Public domain W3C validator