Theorem psrasclcl 21917

Description: A scalar is lifted into a member of the power series. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrasclcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrasclcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrasclcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
3		psrasclcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrasclcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		psrasclcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrring 21907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7	3, 4, 5	psrlmod 21897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
9		psrasclcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	asclf 21819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑆))⟶𝐵)
11		psrasclcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12	3, 4, 5	psrsca 21884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
13	12	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
14	11, 13	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
15	14	feq2d 6635	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝐾⟶𝐵 ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑆))⟶𝐵))
16	10, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
17		psrasclcl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
18	16, 17	ffvelcdmd 7018	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  Ringcrg 20151  algSccascl 21789   mPwSer cmps 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-ascl 21792  df-psr 21846

This theorem is referenced by: (None)