Theorem psrasclcl 22200

Description: A scalar is lifted into a member of the power series. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrasclcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrasclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrasclcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrasclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrasclcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrasclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrasclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrasclcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
3		psrasclcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrasclcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		psrasclcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrring 22190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7	3, 4, 5	psrlmod 22180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
9		psrasclcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	asclf 22102	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑆))⟶𝐵)
11		psrasclcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12	3, 4, 5	psrsca 22168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
13	12	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
14	11, 13	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
15	14	feq2d 6690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝐾⟶𝐵 ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑆))⟶𝐵))
16	10, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
17		psrasclcl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
18	16, 17	ffvelcdmd 7082	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351  Ringcrg 20378  algSccascl 22073   mPwSer cmps 22125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-ascl 22076  df-psr 22130

This theorem is used by: (None)