Theorem bezoutlem2 16471

Description: Lemma for bezout 16474. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.2	. 2 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2		bezout.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3	2	ssrab3 4035	. . . 4 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
4		nnuz 12794	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3983	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		bezout.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		bezout.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	2, 6, 7	bezoutlem1 16470	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
9		ne0i 4294	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	8, 9	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
12	11, 7, 6	bezoutlem1 16470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
13		rexcom 3266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
14	6	zcnd 12601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		zcn 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	15, 17	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
19	7	zcnd 12601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		zcn 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	18, 23	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
25	24	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
26	25	2rexbidva 3200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27	13, 26	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
28	27	rabbidv 3407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
29	2, 28	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
30	29	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
31	12, 30	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
32		ne0i 4294	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
33	31, 32	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
34		bezout.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
35		neorian 3028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36	34, 35	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
37	10, 33, 36	mpjaod 861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ ∅)
38		infssuzcl 12849	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
39	5, 37, 38	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
40	1, 39	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  infcinf 9348  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170  ℕcn 12149  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  bezoutlem3  16472  bezoutlem4  16473