Theorem bezoutlem2 16248

Description: Lemma for bezout 16251. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.2	. 2 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2		bezout.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3	2	ssrab3 4015	. . . 4 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
4		nnuz 12621	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3957	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		bezout.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		bezout.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	2, 6, 7	bezoutlem1 16247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
9		ne0i 4268	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	8, 9	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
12	11, 7, 6	bezoutlem1 16247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
13		rexcom 3234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
14	6	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	15, 17	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
19	7	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	18, 23	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
25	24	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
26	25	2rexbidva 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27	13, 26	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
28	27	rabbidv 3414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
29	2, 28	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
30	29	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
31	12, 30	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
32		ne0i 4268	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
33	31, 32	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
34		bezout.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
35		neorian 3039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36	34, 35	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
37	10, 33, 36	mpjaod 857	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ ∅)
38		infssuzcl 12672	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
39	5, 37, 38	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
40	1, 39	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  bezoutlem3  16249  bezoutlem4  16250