Theorem bezoutlem2 16655

Description: Lemma for bezout 16658. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.2	. 2 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2		bezout.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3	2	ssrab3 4030	. . . 4 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
4		nnuz 12951	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3979	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		bezout.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		bezout.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	2, 6, 7	bezoutlem1 16654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
9		ne0i 4287	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	8, 9	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
12	11, 7, 6	bezoutlem1 16654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
13		rexcom 3291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
14	6	zcnd 12751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		zcn 12645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	15, 17	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
19	7	zcnd 12751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		zcn 12645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	18, 23	addcomd 11461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
25	24	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
26	25	2rexbidva 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27	13, 26	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
28	27	rabbidv 3419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
29	2, 28	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
30	29	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
31	12, 30	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
32		ne0i 4287	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
33	31, 32	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
34		bezout.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
35		neorian 3050	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36	34, 35	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
37	10, 33, 36	mpjaod 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ ∅)
38		infssuzcl 13006	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
39	5, 37, 38	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
40	1, 39	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  infcinf 9418  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   < clt 11292  ℕcn 12282  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912  abscabs 15346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348

This theorem is used by:  bezoutlem3  16656  bezoutlem4  16657