Theorem bezoutlem2 16515

Description: Lemma for bezout 16518. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.2	. 2 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2		bezout.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3	2	ssrab3 4078	. . . 4 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
4		nnuz 12895	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 4016	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1)
6		bezout.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		bezout.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8	2, 6, 7	bezoutlem1 16514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
9		ne0i 4335	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	8, 9	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
11		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
12	11, 7, 6	bezoutlem1 16514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
13		rexcom 3284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
14	6	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	15, 17	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
19	7	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	18, 23	addcomd 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
25	24	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
26	25	2rexbidva 3214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27	13, 26	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
28	27	rabbidv 3437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
29	2, 28	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
30	29	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
31	12, 30	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
32		ne0i 4335	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
33	31, 32	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
34		bezout.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
35		neorian 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36	34, 35	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
37	10, 33, 36	mpjaod 859	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ ∅)
38		infssuzcl 12946	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
39	5, 37, 38	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
40	1, 39	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  {crab 3429   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  infcinf 9464  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  abscabs 15213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215

This theorem is referenced by:  bezoutlem3  16516  bezoutlem4  16517