Theorem bezoutlem1 15662

Description: Lemma for bezout 15666. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		fveq2 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3		oveq1 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
4	2, 3	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3237	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6		zre 11732	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		1z 11759	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		ax-1rid 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
9	8	eqcomd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10		oveq2 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
11	10	rspceeqv 3529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
12	7, 9, 11	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13		eqeq1 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3237	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
15	12, 14	syl5ibrcom 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16		neg1z 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		recn 10362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 10827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19		neg1cn 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20		mulcom 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
21	19, 17, 20	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
22	18, 21	eqtr3d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23		oveq2 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
24	23	rspceeqv 3529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
25	16, 22, 24	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26		eqeq1 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
27	26	rexbidv 3237	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
28	25, 27	syl5ibrcom 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29		absor 14447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
30	15, 28, 29	mpjaod 849	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
31	6, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
32	5, 31	vtoclga 3474	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34		bezout.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	mul01d 10575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
38	37	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
39	1	zcnd 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
40		zcn 11733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 10356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	addid1d 10576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
44	38, 43	eqtrd 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
45	44	eqeq2d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46		0z 11739	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
48	47	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
49	48	rspceeqv 3529	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
50	46, 49	mpan 680	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
51	45, 50	syl6bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
52	51	reximdva 3198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
53	33, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54		nnabscl 14472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
55	54	ex 403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57		eqeq1 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58	57	2rexbidv 3242	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59		bezout.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
60	58, 59	elrab2 3576	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61	60	simplbi2com 498	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
62	53, 56, 61	sylsyld 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  {crab 3094  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  -cneg 10607  ℕcn 11374  ℤcz 11728  abscabs 14381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383

This theorem is referenced by:  bezoutlem2  15663  bezoutlem4  15665