Theorem bezoutlem1 16485

Description: Lemma for bezout 16489. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
4	2, 3	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6		zre 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		1z 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		ax-1rid 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
9	8	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
11	10	rspceeqv 3608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
12	7, 9, 11	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
15	12, 14	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16		neg1z 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		recn 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 11606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19		neg1cn 12147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20		mulcom 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
21	19, 17, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
22	18, 21	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
24	23	rspceeqv 3608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
25	16, 22, 24	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
27	26	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
28	25, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29		absor 15242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
30	15, 28, 29	mpjaod 860	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
31	6, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
32	5, 31	vtoclga 3540	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34		bezout.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	mul01d 11349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
38	37	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
39	1	zcnd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
40		zcn 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	addridd 11350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
44	38, 43	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
45	44	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46		0z 12516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
48	47	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
49	48	rspceeqv 3608	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
50	46, 49	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
51	45, 50	biimtrrdi 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
52	51	reximdva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
53	33, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54		nnabscl 15268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58	57	2rexbidv 3200	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59		bezout.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
60	58, 59	elrab2 3659	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61	60	simplbi2com 502	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
62	53, 56, 61	sylsyld 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  -cneg 11382  ℕcn 12162  ℤcz 12505  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  bezoutlem2  16486  bezoutlem4  16488