MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem1 16573
Description: Lemma for bezout 16577. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
bezoutlem1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
42, 3eqeq12d 2751 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
54rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6 zre 12615 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 1z 12645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
8 ax-1rid 11223 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
98eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
1110rspceeqv 3645 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
127, 9, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1413rexbidv 3177 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1512, 14syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16 neg1z 12651 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
17 recn 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
1817mulm1d 11713 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
20 mulcom 11239 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2119, 17, 20sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2218, 21eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
2423rspceeqv 3645 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
2516, 22, 24sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
2726rexbidv 3177 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
2825, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29 absor 15336 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
3015, 28, 29mpjaod 860 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
316, 30syl 17 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
325, 31vtoclga 3577 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34 bezout.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3534zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736mul01d 11458 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
3837oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
391zcnd 12721 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
40 zcn 12616 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41 mulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4239, 40, 41syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4342addridd 11459 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
4438, 43eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
4544eqeq2d 2746 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46 0z 12622 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
47 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
4847oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
4948rspceeqv 3645 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5046, 49mpan 690 . . . . 5 ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5145, 50biimtrrdi 254 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5251reximdva 3166 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5333, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54 nnabscl 15361 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
5554ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
561, 55syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57 eqeq1 2739 . . . . 5 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58572rexbidv 3220 . . . 4 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59 bezout.1 . . . 4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
6058, 59elrab2 3698 . . 3 ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
6160simplbi2com 502 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
6253, 56, 61sylsyld 61 1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  bezoutlem2  16574  bezoutlem4  16576
  Copyright terms: Public domain W3C validator