Theorem bezoutlem1 16712

Description: Lemma for bezout 16716. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
4	2, 3	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6		zre 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		1z 12726	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		ax-1rid 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
9	8	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
11	10	rspceeqv 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
12	7, 9, 11	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
15	12, 14	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16		neg1z 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		recn 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 11768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ( -1 · 𝑧) = -𝑧)
19		neg1cn 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20		mulcom 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ( -1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
21	19, 17, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ( -1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
22	18, 21	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
24	23	rspceeqv 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
25	16, 22, 24	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
27	26	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29		absor 15467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
30	15, 28, 29	mpjaod 874	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
31	6, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
32	5, 31	vtoclga 3536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
33	1, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34		bezout.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	mul01d 11509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
38	37	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
39	1	zcnd 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
40		zcn 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	addridd 11510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
44	38, 43	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
45	44	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46		0z 12704	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
48	47	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
49	48	rspceeqv 3598	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
50	46, 49	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
51	45, 50	biimtrrdi 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
52	51	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
53	33, 52	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54		nnabscl 15493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
55	54	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
56	1, 55	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58	57	2rexbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59		bezout.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
60	58, 59	elrab2 3648	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61	60	simplbi2com 508	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
62	53, 56, 61	sylsyld 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  bezoutlem2  16713  bezoutlem4  16715