MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem1 16483
Description: Lemma for bezout 16487. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 ๐‘€ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}
bezout.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
bezout.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
Assertion
Ref Expression
bezoutlem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem bezoutlem1
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜๐ด))
3 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
42, 3eqeq12d 2748 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
54rexbidv 3178 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
6 zre 12564 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
7 1z 12594 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
8 ax-1rid 11182 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง ยท 1) = ๐‘ง)
98eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง = (๐‘ง ยท 1))
10 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท 1))
1110rspceeqv 3633 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง = (๐‘ง ยท 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
127, 9, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
13 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
1413rexbidv 3178 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
1512, 14syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
16 neg1z 12600 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
17 recn 11202 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1817mulm1d 11668 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = -๐‘ง)
19 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
20 mulcom 11198 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = (๐‘ง ยท -1))
2119, 17, 20sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = (๐‘ง ยท -1))
2218, 21eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘ง = (๐‘ง ยท -1))
23 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท -1))
2423rspceeqv 3633 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ง = (๐‘ง ยท -1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2516, 22, 24sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
26 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
2726rexbidv 3178 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
29 absor 15249 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โˆจ (absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง))
3015, 28, 29mpjaod 858 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
316, 30syl 17 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
325, 31vtoclga 3565 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
331, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
34 bezout.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 12669 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3736mul01d 11415 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3837oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + 0))
391zcnd 12669 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
40 zcn 12565 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4239, 40, 41syl2an 596 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4342addridd 11416 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + 0) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
4438, 43eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
4544eqeq2d 2743 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) โ†” (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
46 0z 12571 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
47 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (๐ต ยท 0))
4847oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)))
4948rspceeqv 3633 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
5046, 49mpan 688 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
5145, 50syl6bir 253 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
5251reximdva 3168 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
5333, 52mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
54 nnabscl 15274 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5554ex 413 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•))
561, 55syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•))
57 eqeq1 2736 . . . . 5 (๐‘ง = (absโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
58572rexbidv 3219 . . . 4 (๐‘ง = (absโ€˜๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
59 bezout.1 . . . 4 ๐‘€ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}
6058, 59elrab2 3686 . . 3 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€ โ†” ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
6160simplbi2com 503 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
6253, 56, 61sylsyld 61 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„คcz 12560  abscabs 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  bezoutlem2  16484  bezoutlem4  16486
  Copyright terms: Public domain W3C validator