Theorem bezoutlem1 15879

Description: Lemma for bezout 15883. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		fveq2 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3		oveq1 7155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
4	2, 3	eqeq12d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3295	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6		zre 11977	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		1z 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		ax-1rid 10599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
9	8	eqcomd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10		oveq2 7156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
11	10	rspceeqv 3636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
12	7, 9, 11	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13		eqeq1 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3295	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
15	12, 14	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16		neg1z 12010	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		recn 10619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19		neg1cn 11743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20		mulcom 10615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
21	19, 17, 20	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
22	18, 21	eqtr3d 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23		oveq2 7156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
24	23	rspceeqv 3636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
25	16, 22, 24	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26		eqeq1 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
27	26	rexbidv 3295	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
28	25, 27	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29		absor 14652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
30	15, 28, 29	mpjaod 856	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
31	6, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
32	5, 31	vtoclga 3572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34		bezout.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	mul01d 10831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
38	37	oveq2d 7164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
39	1	zcnd 12080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
40		zcn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 10613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	addid1d 10832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
44	38, 43	eqtrd 2854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
45	44	eqeq2d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46		0z 11984	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		oveq2 7156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
48	47	oveq2d 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
49	48	rspceeqv 3636	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
50	46, 49	mpan 688	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
51	45, 50	syl6bir 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
52	51	reximdva 3272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
53	33, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54		nnabscl 14677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
55	54	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57		eqeq1 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58	57	2rexbidv 3298	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59		bezout.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
60	58, 59	elrab2 3681	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61	60	simplbi2com 505	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
62	53, 56, 61	sylsyld 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137  {crab 3140  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  -cneg 10863  ℕcn 11630  ℤcz 11973  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  bezoutlem2  15880  bezoutlem4  15882