Theorem bezoutlem1 16420

Description: Lemma for bezout 16424. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6		zre 12503	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		1z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		ax-1rid 11121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
9	8	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
11	10	rspceeqv 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
12	7, 9, 11	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
15	12, 14	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16		neg1z 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		recn 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19		neg1cn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20		mulcom 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
21	19, 17, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
22	18, 21	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
24	23	rspceeqv 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
25	16, 22, 24	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
27	26	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
28	25, 27	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29		absor 15185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
30	15, 28, 29	mpjaod 858	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
31	6, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
32	5, 31	vtoclga 3534	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34		bezout.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	mul01d 11354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
38	37	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
39	1	zcnd 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
40		zcn 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
43	42	addid1d 11355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
44	38, 43	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
45	44	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46		0z 12510	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
48	47	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
49	48	rspceeqv 3595	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
50	46, 49	mpan 688	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
51	45, 50	syl6bir 253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
52	51	reximdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
53	33, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54		nnabscl 15210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
55	54	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57		eqeq1 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58	57	2rexbidv 3213	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59		bezout.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
60	58, 59	elrab2 3648	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61	60	simplbi2com 503	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
62	53, 56, 61	sylsyld 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  {crab 3407  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386  ℕcn 12153  ℤcz 12499  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  bezoutlem2  16421  bezoutlem4  16423