MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem1 16481
Description: Lemma for bezout 16485. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 ๐‘€ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}
bezout.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
bezout.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
Assertion
Ref Expression
bezoutlem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem bezoutlem1
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜๐ด))
3 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
42, 3eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
54rexbidv 3179 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
6 zre 12562 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
7 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
8 ax-1rid 11180 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง ยท 1) = ๐‘ง)
98eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง = (๐‘ง ยท 1))
10 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท 1))
1110rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง = (๐‘ง ยท 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
127, 9, 11sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
13 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
1413rexbidv 3179 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
1512, 14syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
16 neg1z 12598 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
17 recn 11200 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1817mulm1d 11666 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = -๐‘ง)
19 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
20 mulcom 11196 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = (๐‘ง ยท -1))
2119, 17, 20sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (-1 ยท ๐‘ง) = (๐‘ง ยท -1))
2218, 21eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘ง = (๐‘ง ยท -1))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท -1))
2423rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ง = (๐‘ง ยท -1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2516, 22, 24sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
26 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
2726rexbidv 3179 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ง = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)))
29 absor 15247 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง โˆจ (absโ€˜๐‘ง) = -๐‘ง))
3015, 28, 29mpjaod 859 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
316, 30syl 17 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
325, 31vtoclga 3566 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
331, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
34 bezout.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3736mul01d 11413 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3837oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + 0))
391zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
40 zcn 12563 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4239, 40, 41syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4342addridd 11414 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + 0) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
4438, 43eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
4544eqeq2d 2744 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) โ†” (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
46 0z 12569 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
47 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (๐ต ยท 0))
4847oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)))
4948rspceeqv 3634 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
5046, 49mpan 689 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
5145, 50syl6bir 254 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
5251reximdva 3169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
5333, 52mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
54 nnabscl 15272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5554ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•))
561, 55syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•))
57 eqeq1 2737 . . . . 5 (๐‘ง = (absโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
58572rexbidv 3220 . . . 4 (๐‘ง = (absโ€˜๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
59 bezout.1 . . . 4 ๐‘€ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}
6058, 59elrab2 3687 . . 3 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€ โ†” ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
6160simplbi2com 504 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (absโ€˜๐ด) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
6253, 56, 61sylsyld 61 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  {crab 3433  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  bezoutlem2  16482  bezoutlem4  16484
  Copyright terms: Public domain W3C validator