Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem1 15885
 Description: Lemma for bezout 15889. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
bezoutlem1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 fveq2 6661 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3 oveq1 7156 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
42, 3eqeq12d 2840 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
54rexbidv 3289 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6 zre 11982 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 1z 12009 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
8 ax-1rid 10605 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
98eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
1110rspceeqv 3624 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
127, 9, 11sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
13 eqeq1 2828 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1413rexbidv 3289 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1512, 14syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
16 neg1z 12015 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
17 recn 10625 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
1817mulm1d 11090 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
19 neg1cn 11748 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
20 mulcom 10621 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2119, 17, 20sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2218, 21eqtr3d 2861 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
23 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
2423rspceeqv 3624 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
2516, 22, 24sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
26 eqeq1 2828 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
2726rexbidv 3289 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
2825, 27syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
29 absor 14660 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
3015, 28, 29mpjaod 857 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
316, 30syl 17 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
325, 31vtoclga 3560 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
34 bezout.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3534zcnd 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3635adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736mul01d 10837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
3837oveq2d 7165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
391zcnd 12085 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
40 zcn 11983 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
41 mulcl 10619 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4239, 40, 41syl2an 598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4342addid1d 10838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
4438, 43eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
4544eqeq2d 2835 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
46 0z 11989 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
47 oveq2 7157 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
4847oveq2d 7165 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
4948rspceeqv 3624 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5046, 49mpan 689 . . . . 5 ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5145, 50syl6bir 257 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5251reximdva 3266 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5333, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
54 nnabscl 14685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
5554ex 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
561, 55syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
57 eqeq1 2828 . . . . 5 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
58572rexbidv 3292 . . . 4 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
59 bezout.1 . . . 4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
6058, 59elrab2 3669 . . 3 ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
6160simplbi2com 506 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
6253, 56, 61sylsyld 61 1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  -cneg 10869  ℕcn 11634  ℤcz 11978  abscabs 14593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595 This theorem is referenced by:  bezoutlem2  15886  bezoutlem4  15888
 Copyright terms: Public domain W3C validator