Theorem btwnleg 28822

Description: Betweenness implies less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
btwnleg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnleg	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Proof of Theorem btwnleg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
2		btwnleg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
3		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
5		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	eqeq2d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)))
7	4, 6	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))))
8	7	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑃 ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 849	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
10		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
14		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		legid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 15, 16	legov 28819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥))))
18	9, 17	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  distcds 17318  TarskiGcstrkg 28661  Itvcitv 28667  ≤Gcleg 28816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28682  df-trkgb 28683  df-trkgcb 28684  df-trkg 28687  df-cgrg 28745  df-leg 28817

This theorem is referenced by:  legbtwn  28828  tgcgrsub2  28829