Theorem btwnleg 28094

Description: Betweenness implies less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
btwnleg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnleg	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Proof of Theorem btwnleg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
2		btwnleg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
3		eqidd 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
5		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)))
7	4, 6	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))))
8	7	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑃 ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
10		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
14		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		legid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 15, 16	legov 28091	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥))))
18	9, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  Itvcitv 27939  ≤Gcleg 28088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27954  df-trkgb 27955  df-trkgcb 27956  df-trkg 27959  df-cgrg 28017  df-leg 28089

This theorem is referenced by:  legbtwn  28100  tgcgrsub2  28101