Theorem btwnleg 26949

Description: Betweenness implies less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
btwnleg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnleg	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Proof of Theorem btwnleg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
2		btwnleg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
3		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
5		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)))
7	4, 6	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))))
8	7	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑃 ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 834	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
10		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
14		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		legid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 15, 16	legov 26946	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥))))
18	9, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  ≤Gcleg 26943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944

This theorem is referenced by:  legbtwn  26955  tgcgrsub2  26956