Theorem legid 28673

Description: Reflexivity of the less-than relationship. Proposition 5.7 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legid	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem legid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
2		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6, 1	tgbtwntriv2 28573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
8		eqidd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
10		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
11	10	eqeq2d 2750	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))))
13	12	rspcev 3560	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑃 ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
14	1, 7, 8, 13	syl12anc 842	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥)))
15		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
16	2, 3, 4, 15, 5, 6, 1, 6, 1	legov 28671	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝑥))))
17	14, 16	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  ≤Gcleg 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597  df-leg 28669

This theorem is referenced by:  legtrid  28677  legov3  28684