Theorem cgrancol 29195

Description: Angle congruence preserves non-colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgrancol.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
cgrancol.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cgrancol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgrancol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrancol.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		cgracol.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		cgracol.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		cgracol.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		cgracol.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		cgracol.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracol.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
11		cgracol.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
13		cgracol.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		cgracol.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		cgracol.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
20		cgracol.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
22	2, 3, 6, 19, 14, 16, 18, 8, 10, 12, 21	cgracom 29188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
23		cgrancol.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
25	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 22, 23, 24	cgracol 29194	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
26	1, 25	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ⟨“cs3 14907  Basecbs 17295  distcds 17345  TarskiGcstrkg 28751  Itvcitv 28757  LineGclng 28758  hlGchlg 28924  cgrAccgra 29173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573  df-concat 14630  df-s1 14657  df-s2 14913  df-s3 14914  df-trkgc 28772  df-trkgb 28773  df-trkgcb 28774  df-trkg 28777  df-cgrg 28835  df-leg 28907  df-hlg 28925  df-cgra 29174

This theorem is used by:  acopyeu  29200  tgasa1  29234