Theorem cgrancol 29352

Description: Angle congruence preserves non-colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgrancol.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
cgrancol.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cgrancol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgrancol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrancol.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		cgracol.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		cgracol.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		cgracol.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		cgracol.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		cgracol.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracol.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
11		cgracol.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
13		cgracol.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		cgracol.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		cgracol.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
20		cgracol.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
22	2, 3, 6, 19, 14, 16, 18, 8, 10, 12, 21	cgracom 29344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
23		cgrancol.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
25	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 22, 23, 24	cgracol 29351	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
26	1, 25	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ⟨“cs3 15007  Basecbs 17402  distcds 17452  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  LineGclng 28911  hlGchlg 29078  cgrAccgra 29329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930  df-cgrg 28989  df-leg 29061  df-hlg 29079  df-cgra 29330

This theorem is used by:  acopyeu  29357  angmgmaddeu1  29394  angmgmaddcpbl  29405  tgasa1  29418  tgaasne  33097  tgaas1h  33099  tgaas1  33100