MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgrancol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrancol 28588
Description: Angle congruence preserves non-colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgrancol.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
cgrancol.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cgrancol (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem cgrancol
StepHypRef Expression
1 cgrancol.2 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
2 cgracol.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 cgracol.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 cgracol.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
5 cgracol.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 cgracol.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 cgracol.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
109adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
11 cgracol.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
13 cgracol.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1413adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
15 cgracol.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1615adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
17 cgracol.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1817adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
19 eqid 2726 . . . 4 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
20 cgracol.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
2120adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
222, 3, 6, 19, 14, 16, 18, 8, 10, 12, 21cgracom 28581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
23 cgrancol.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
24 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
252, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 22, 23, 24cgracol 28587 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸)) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
261, 25mtand 813 1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  βŸ¨β€œcs3 14799  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  LineGclng 28193  hlGchlg 28359  cgrAccgra 28566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-leg 28342  df-hlg 28360  df-cgra 28567
This theorem is referenced by:  acopyeu  28593  tgasa1  28617
  Copyright terms: Public domain W3C validator