MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climle 15617
Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climle.5 (𝜑𝐺𝐵)
climle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climle.5 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
41fvexi 6911 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
54mptex 7235 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V)
7 climadd.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
8 climle.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
98recnd 11273 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
10 climle.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1110recnd 11273 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
13 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1412, 13oveq12d 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
15 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))
16 ovex 7453 . . . . . 6 ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 7005 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
191, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 18climsub 15611 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ⇝ (𝐵𝐴))
208, 10resubcld 11673 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2118, 20eqeltrd 2829 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
22 climle.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
238, 10subge0d 11835 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
2422, 23mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2524, 18breqtrrd 5176 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘))
261, 2, 19, 21, 25climge0 15561 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
271, 2, 3, 8climrecl 15560 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
281, 2, 7, 10climrecl 15560 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2927, 28subge0d 11835 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3026, 29mpbid 231 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  cle 11280  cmin 11475  cz 12589  cuz 12853  cli 15461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466
This theorem is referenced by:  climlec2  15638  iserle  15639  iseraltlem1  15661  iserabs  15794  cvgcmpub  15796  itg2monolem1  25693  ulmdvlem1  26349  dchrisumlema  27434  dchrisumlem3  27437  stirlinglem10  45471
  Copyright terms: Public domain W3C validator