Theorem climle 15642

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climle.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climle.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
4	1	fvexi 6915	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7240	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V)
7		climadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climle.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
10		climle.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		fveq2 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘𝑘))
13		fveq2 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
14	12, 13	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
15		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
16		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 7009	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
18	17	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 18	climsub 15636	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ⇝ (𝐵 − 𝐴))
20	8, 10	resubcld 11692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
21	18, 20	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
22		climle.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
23	8, 10	subge0d 11854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
24	22, 23	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
25	24, 18	breqtrrd 5181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘))
26	1, 2, 19, 21, 25	climge0 15586	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
27	1, 2, 3, 8	climrecl 15585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
28	1, 2, 7, 10	climrecl 15585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29	27, 28	subge0d 11854	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	26, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158   ≤ cle 11299   − cmin 11494  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874   ⇝ cli 15486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491

This theorem is referenced by:  climlec2  15663  iserle  15664  iseraltlem1  15686  iserabs  15819  cvgcmpub  15821  itg2monolem1  25771  ulmdvlem1  26429  dchrisumlema  27517  dchrisumlem3  27520  stirlinglem10  45704