Theorem climle 15679

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climle.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climle.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
4	1	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7211	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V)
7		climadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climle.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
10		climle.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘𝑘))
13		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
14	12, 13	oveq12d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
16		ovex 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6979	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
18	17	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 18	climsub 15673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ⇝ (𝐵 − 𝐴))
20	8, 10	resubcld 11630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
21	18, 20	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
22		climle.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
23	8, 10	subge0d 11792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
24	22, 23	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
25	24, 18	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘))
26	1, 2, 19, 21, 25	climge0 15623	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
27	1, 2, 3, 8	climrecl 15622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
28	1, 2, 7, 10	climrecl 15622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29	27, 28	subge0d 11792	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	26, 29	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850   ⇝ cli 15523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-rlim 15528

This theorem is referenced by:  climlec2  15698  iserle  15699  iseraltlem1  15721  iserabs  15855  cvgcmpub  15857  itg2monolem1  25866  ulmdvlem1  26517  dchrisumlema  27606  dchrisumlem3  27609  stirlinglem10  46656