Theorem climle 15602

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climle.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climle.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
4	1	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V)
7		climadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climle.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
10		climle.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘𝑘))
13		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
14	12, 13	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
16		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 18	climsub 15596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ⇝ (𝐵 − 𝐴))
20	8, 10	resubcld 11578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
21	18, 20	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
22		climle.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
23	8, 10	subge0d 11740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
24	22, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
25	24, 18	breqtrrd 5113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘))
26	1, 2, 19, 21, 25	climge0 15546	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
27	1, 2, 3, 8	climrecl 15545	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
28	1, 2, 7, 10	climrecl 15545	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29	27, 28	subge0d 11740	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	26, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  climlec2  15621  iserle  15622  iseraltlem1  15644  iserabs  15778  cvgcmpub  15780  itg2monolem1  25717  ulmdvlem1  26365  dchrisumlema  27451  dchrisumlem3  27454  stirlinglem10  46511