Theorem climinf2 46278

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf2.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf2.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinf2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinf2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinf2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinf2.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1919	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinf2.n	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6877	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6877	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5147	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinf2.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		climinf2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
24		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
25	24	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
26		nfv 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)
27		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
28	27, 10, 12	nfbr 5147	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	18	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
30	26, 28, 29	cbvralw 3304	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	25, 31	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	cbvrexvw 3241	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	23, 33	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	1, 2, 3, 22, 34	climinf2lem 46277	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  ran crn 5648  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  infcinf 9387  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839   ⇝ cli 15511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  46285  climinfmpt  46286  climinf3  46287