Theorem climinf2 45951

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf2.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf2.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinf2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinf2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinf2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinf2.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinf2.n	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5145	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5111	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinf2.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		climinf2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
24		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
25	24	ralbidv 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
26		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)
27		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
28	27, 10, 12	nfbr 5145	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	18	breq2d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
30	26, 28, 29	cbvralw 3278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	25, 31	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	cbvrexvw 3215	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	23, 33	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	1, 2, 3, 22, 34	climinf2lem 45950	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  infcinf 9344  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  45958  climinfmpt  45959  climinf3  45960