Theorem climinf2 44101

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf2.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf2.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinf2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinf2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinf2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinf2.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinf2.n	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6872	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6872	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5172	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5138	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinf2.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		climinf2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
24		breq1 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
25	24	ralbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
26		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)
27		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
28	27, 10, 12	nfbr 5172	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	18	breq2d 5137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
30	26, 28, 29	cbvralw 3300	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	25, 31	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	cbvrexvw 3234	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	23, 33	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	1, 2, 3, 22, 34	climinf2lem 44100	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5125  ran crn 5654  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  infcinf 9401  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℤcz 12523  ℤ_≥cuz 12787   ⇝ cli 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  44108  climinfmpt  44109  climinf3  44110