MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsubc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubc1 15671
Description: Limit of a constant 𝐶 subtracted from each term of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsubc1.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) − 𝐶))
Assertion
Ref Expression
climsubc1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴𝐶))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsubc1
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
5 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 0z 12622 . . 3 0 ∈ ℤ
7 uzssz 12897 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
8 zex 12620 . . . 4 ℤ ∈ V
97, 8climconst2 15581 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
105, 6, 9sylancl 586 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
11 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eluzelz 12886 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312, 1eleq2s 2857 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
14 fvconst2g 7222 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
155, 13, 14syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
165adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 climsubc1.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) − 𝐶))
1915oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) − 𝐶))
2018, 19eqtr4d 2778 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) − ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)))
211, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20climsub 15667 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  clim2ser  15688  ulmdvlem1  26458  fourierdlem112  46174
  Copyright terms: Public domain W3C validator