MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubc2 15613
Description: Limit of a constant 𝐶 minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsubc2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsubc2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsubc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 0z 12597 . . 3 0 ∈ ℤ
5 uzssz 12871 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
6 zex 12595 . . . 4 ℤ ∈ V
75, 6climconst2 15522 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
83, 4, 7sylancl 584 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
11 eluzelz 12860 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2843 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 7208 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
143, 12, 13syl2an 594 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
153adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1614, 15eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climsubc2.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
1914oveq1d 7429 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
2018, 19eqtr4d 2768 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)))
211, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20climsub 15608 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4622   class class class wbr 5141   × cxp 5668  cfv 6541  (class class class)co 7414  cc 11134  0cc0 11136  cmin 11472  cz 12586  cuz 12850  cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  trireciplem  15838  geolim  15846  geo2lim  15851  mbfi1fseqlem6  25666  leibpi  26890  emcllem7  26950  lgamcvg2  27003  dchrisumlem3  27440  climlec3  35357  stirlinglem1  45497
  Copyright terms: Public domain W3C validator