Theorem climsubc2 14998

Description: Limit of a constant 𝐶 minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddc1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climaddc1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climsubc2.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 − (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climsubc2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsubc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climaddc1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0z 11995	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		uzssz 12267	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
6		zex 11993	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	5, 6	climconst2 14908	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
8	3, 4, 7	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9		climaddc1.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climadd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		eluzelz 12256	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 1	eleq2s 2934	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
13		fvconst2g 6967	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
14	3, 12, 13	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
15	3	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	14, 15	eqeltrd 2916	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17		climaddc1.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climsubc2.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 − (𝐹‘𝑘)))
19	14	oveq1d 7174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) = (𝐶 − (𝐹‘𝑘)))
20	18, 19	eqtr4d 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
21	1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20	climsub 14993	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4570   class class class wbr 5069   × cxp 5556  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540   − cmin 10873  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246   ⇝ cli 14844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848

This theorem is referenced by:  trireciplem  15220  geolim  15229  geo2lim  15234  mbfi1fseqlem6  24324  leibpi  25523  emcllem7  25582  lgamcvg2  25635  dchrisumlem3  26070  climlec3  32969  stirlinglem1  42366