Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubc2 14781
 Description: Limit of a constant 𝐶 minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsubc2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsubc2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsubc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 0z 11743 . . 3 0 ∈ ℤ
5 uzssz 12016 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
6 zex 11741 . . . 4 ℤ ∈ V
75, 6climconst2 14691 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
83, 4, 7sylancl 580 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
11 eluzelz 12006 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2877 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 6741 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
143, 12, 13syl2an 589 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
153adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1614, 15eqeltrd 2859 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climsubc2.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
1914oveq1d 6939 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
2018, 19eqtr4d 2817 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)))
211, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20climsub 14776 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {csn 4398   class class class wbr 4888   × cxp 5355  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274   − cmin 10608  ℤcz 11732  ℤ≥cuz 11996   ⇝ cli 14627 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631 This theorem is referenced by:  trireciplem  15002  geolim  15009  geo2lim  15014  mbfi1fseqlem6  23928  leibpi  25125  emcllem7  25184  lgamcvg2  25237  dchrisumlem3  25636  climlec3  32217  stirlinglem1  41228
 Copyright terms: Public domain W3C validator