MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser 15545
Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
clim2ser.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
clim2ser.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem clim2ser
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleqtrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 peano2uz 12831 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluzelz 12778 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 clim2ser.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 12773 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
114, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
133, 11, 12serf 13942 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1413, 2ffvelcdmd 7037 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
15 seqex 13914 . . 3 seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V)
1713adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
186, 3eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
193uztrn2 12787 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2018, 19sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2117, 20ffvelcdmd 7037 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
22 addcl 11138 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
2322adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
24 addass 11143 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
2524adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
26 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
274adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
28 elfzuz 13443 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2928, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3029, 12sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3130adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3223, 25, 26, 27, 31seqsplit 13947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
3332oveq1d 7373 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
3414adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
353uztrn2 12787 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3618, 35sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3736, 12syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
381, 8, 37serf 13942 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4034, 39pncan2d 11519 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4133, 40eqtr2d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
421, 8, 9, 14, 16, 21, 41climsubc1 15526 1 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  iserex  15547  ege2le3  15977  abelthlem9  25815  stirlinglem7  44407  stirlinglem11  44411  stirlinglem12  44412
  Copyright terms: Public domain W3C validator