MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser 15688
Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2ser.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2ser.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 12941 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzelz 12886 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 clim2ser.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 12881 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
133, 11, 12serf 14068 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelcdmd 7105 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 14041 . . 3 seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V)
1713adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
186, 3eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
193uztrn2 12895 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2018, 19sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2117, 20ffvelcdmd 7105 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
22 addcl 11235 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
24 addass 11240 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
2524adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
26 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
274adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz 13557 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2928, 3eleqtrrdi 2850 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3029, 12sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3223, 25, 26, 27, 31seqsplit 14073 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
3332oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
3414adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
353uztrn2 12895 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
3618, 35sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
3736, 12syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
381, 8, 37serf 14068 . . . . 5 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
3938ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4034, 39pncan2d 11620 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
4133, 40eqtr2d 2776 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
421, 8, 9, 14, 16, 21, 41climsubc1 15671 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  iserex  15690  ege2le3  16123  abelthlem9  26499  stirlinglem7  46036  stirlinglem11  46040  stirlinglem12  46041
  Copyright terms: Public domain W3C validator