Theorem clim2ser 15702

Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2ser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
clim2ser	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2ser.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 12921	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzelz 12868	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		clim2ser.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10		eluzel2 12863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2ser.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	3, 11, 12	serf 14062	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 7078	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		seqex 14035	. . 3 ⊢ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V)
17	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
18	6, 3	eleqtrrdi 2880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
19	3	uztrn2 12877	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
20	18, 19	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21	17, 20	ffvelcdmd 7078	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
22		addcl 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
24		addass 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
25	24	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
26		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
27	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28		elfzuz 13544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	28, 3	eleqtrrdi 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
30	29, 12	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	30	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32	23, 25, 26, 27, 31	seqsplit 14067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
33	32	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
34	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
35	3	uztrn2 12877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
36	18, 35	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36, 12	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	1, 8, 37	serf 14062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
40	34, 39	pncan2d 11567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
41	33, 40	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
42	1, 8, 9, 14, 16, 21, 41	climsubc1 15685	1 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  seqcseq 14033   ⇝ cli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535

This theorem is referenced by:  iserex  15704  ege2le3  16140  abelthlem9  26565  stirlinglem7  46679  stirlinglem11  46683  stirlinglem12  46684