MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk4 29372
Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem numclwwlk4
StepHypRef Expression
1 fusgrusgr 28312 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
3 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43clwwlknun 29098 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
52, 4syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
65fveq2d 6851 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (β™―β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
73fusgrvtxfi 28309 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ 𝑉 ∈ Fin)
87adantr 482 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
93clwwlknonfin 29080 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin β†’ (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
1110adantr 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
1211adantr 482 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
13 clwwlknondisj 29097 . . . 4 Disj π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)
1413a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
158, 12, 14hashiun 15714 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
166, 15eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ ciun 4959  Disj wdisj 5075  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„•cn 12160  β™―chash 14237  Ξ£csu 15577  Vtxcvtx 27989  USGraphcusgr 28142  FinUSGraphcfusgr 28306   ClWWalksN cclwwlkn 29010  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-edg 28041  df-umgr 28076  df-usgr 28144  df-fusgr 28307  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  29376
  Copyright terms: Public domain W3C validator