Theorem numclwwlk4 28651

Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk4	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem numclwwlk4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 27592	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	clwwlknun 28377	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
6	5	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
7	3	fusgrvtxfi 27589	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9	3	clwwlknonfin 28359	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
13		clwwlknondisj 28376	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	8, 12, 14	hashiun 15462	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
16	6, 15	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℕcn 11903  ♯chash 13972  Σcsu 15325  Vtxcvtx 27269  USGraphcusgr 27422  FinUSGraphcfusgr 27586   ClWWalksN cclwwlkn 28289  ClWWalksNOncclwwlknon 28352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-fusgr 27587  df-clwwlk 28247  df-clwwlkn 28290  df-clwwlknon 28353

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  28655