Theorem numclwwlk4 28271

Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk4	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem numclwwlk4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 27212	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	clwwlknun 27997	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
6	5	fveq2d 6663	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
7	3	fusgrvtxfi 27209	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9	3	clwwlknonfin 27979	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
13		clwwlknondisj 27996	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	8, 12, 14	hashiun 15226	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
16	6, 15	eqtrd 2794	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∪ ciun 4884  Disj wdisj 4998  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℕcn 11675  ♯chash 13741  Σcsu 15091  Vtxcvtx 26889  USGraphcusgr 27042  FinUSGraphcfusgr 27206   ClWWalksN cclwwlkn 27909  ClWWalksNOncclwwlknon 27972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-oi 9008  df-dju 9364  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-word 13915  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-clim 14894  df-sum 15092  df-edg 26941  df-umgr 26976  df-usgr 27044  df-fusgr 27207  df-clwwlk 27867  df-clwwlkn 27910  df-clwwlknon 27973

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  28275