Theorem numclwwlk4 30209

Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk4	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem numclwwlk4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 29148	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		numclwwlk3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	clwwlknun 29935	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
6	5	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
7	3	fusgrvtxfi 29145	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9	3	clwwlknonfin 29917	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
13		clwwlknondisj 29934	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	8, 12, 14	hashiun 15801	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
16	6, 15	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∪ ciun 4996  Disj wdisj 5113  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  ℕcn 12243  ♯chash 14322  Σcsu 15665  Vtxcvtx 28822  USGraphcusgr 28975  FinUSGraphcfusgr 29142   ClWWalksN cclwwlkn 29847  ClWWalksNOncclwwlknon 29910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-word 14498  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-edg 28874  df-umgr 28909  df-usgr 28977  df-fusgr 29143  df-clwwlk 29805  df-clwwlkn 29848  df-clwwlknon 29911

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30213