MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk6 29910
Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 βˆ’ 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((β™―β€˜π‘‰) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk6.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21finrusgrfusgr 29089 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
323adant2 1129 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4 prmnn 16615 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
54adantr 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
61numclwwlk4 29906 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)))
73, 5, 6syl2an 594 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)))
87oveq1d 7426 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃))
95adantl 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
10 simp3 1136 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
1110adantr 479 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
131clwwlknonfin 29614 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin β†’ (π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃) ∈ Fin)
14 hashcl 14320 . . . . . . 7 ((π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) ∈ β„•0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) ∈ β„•0)
1615nn0zd 12588 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) ∈ β„€)
1716ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) ∈ β„€)
189, 11, 17modfsummod 15744 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 ((β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19 simpl 481 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
2120anim1ci 614 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))))
22 3anass 1093 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
241numclwwlk5 29908 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2519, 23, 24syl2an2r 681 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2625sumeq2dv 15653 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 ((β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1)
2726oveq1d 7426 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 ((β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
2818, 27eqtrd 2770 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(π‘₯(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
29 1cnd 11213 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
30 fsumconst 15740 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 = ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1))
3110, 29, 30syl2an 594 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 = ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1))
32 hashcl 14320 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0)
3332nn0red 12537 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ)
34 ax-1rid 11182 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ β†’ ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1) = (β™―β€˜π‘‰))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1) = (β™―β€˜π‘‰))
36353ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1) = (β™―β€˜π‘‰))
3736adantr 479 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) Β· 1) = (β™―β€˜π‘‰))
3831, 37eqtrd 2770 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 = (β™―β€˜π‘‰))
3938oveq1d 7426 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝑉 1 mod 𝑃) = ((β™―β€˜π‘‰) mod 𝑃))
408, 28, 393eqtrd 2774 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((β™―β€˜π‘‰) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562   mod cmo 13838  β™―chash 14294  Ξ£csu 15636   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612  Vtxcvtx 28523  FinUSGraphcfusgr 28840   RegUSGraph crusgr 29080   ClWWalksN cclwwlkn 29544  ClWWalksNOncclwwlknon 29607   FriendGraph cfrgr 29778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-s2 14803  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-vtx 28525  df-iedg 28526  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-ushgr 28586  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-uspgr 28677  df-usgr 28678  df-fusgr 28841  df-nbgr 28857  df-vtxdg 28990  df-rgr 29081  df-rusgr 29082  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352  df-wwlksnon 29353  df-clwwlk 29502  df-clwwlkn 29545  df-clwwlknon 29608  df-frgr 29779
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator