Theorem numclwwlk6 27794

Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk6	⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk6.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	finrusgrfusgr 26863	. . . . 5 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
3	2	3adant2 1165	. . . 4 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4		prmnn 15760	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1	numclwwlk4 27790	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
7	3, 5, 6	syl2an 589	. . 3 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
8	7	oveq1d 6920	. 2 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
9	5	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		simp3 1172	. . . . 5 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
11	10	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
12	11	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
13	1	clwwlknonfin 27458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14		hashcl 13437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 11808	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
17	16	ralrimiva 3175	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
18	9, 11, 17	modfsummod 14900	. . 3 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
21	20	anim1i 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
22	21	ancomd 455	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
23		3anass 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
24	22, 23	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
25	1	numclwwlk5 27792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
26	19, 24, 25	syl2an2r 675	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
27	26	sumeq2dv 14810	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 1)
28	27	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
29	18, 28	eqtrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
30		1cnd 10351	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
31		fsumconst 14896	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
32	10, 30, 31	syl2an 589	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
33		hashcl 13437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 11679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
35		ax-1rid 10322	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
37	36	3ad2ant3 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
38	37	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
39	32, 38	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = (♯‘𝑉))
40	39	oveq1d 6920	. 2 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
41	8, 29, 40	3eqtrd 2865	1 ⊢ (((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  ℂcc 10250  ℝcr 10251  1c1 10253   · cmul 10257   − cmin 10585  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704   mod cmo 12963  ♯chash 13410  Σcsu 14793   ∥ cdvds 15357  ℙcprime 15757  Vtxcvtx 26294  FinUSGraphcfusgr 26613  RegUSGraphcrusgr 26854   ClWWalksN cclwwlkn 27362  ClWWalksNOncclwwlknon 27451   FriendGraph cfrgr 27626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-word 13575  df-lsw 13623  df-concat 13631  df-s1 13656  df-substr 13701  df-pfx 13750  df-s2 13969  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-phi 15842  df-vtx 26296  df-iedg 26297  df-edg 26346  df-uhgr 26356  df-ushgr 26357  df-upgr 26380  df-umgr 26381  df-uspgr 26449  df-usgr 26450  df-fusgr 26614  df-nbgr 26630  df-vtxdg 26764  df-rgr 26855  df-rusgr 26856  df-wwlks 27129  df-wwlksn 27130  df-wwlksnon 27131  df-clwwlk 27311  df-clwwlkn 27363  df-clwwlknon 27452  df-frgr 27627

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  27795