Theorem numclwwlk6 30589

Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk6	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk6.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	finrusgrfusgr 29763	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
3	2	3adant2 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4		prmnn 16708	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1	numclwwlk4 30585	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
7	3, 5, 6	syl2an 605	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
8	7	oveq1d 7411	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
9	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		simp3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
13	1	clwwlknonfin 30293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14		hashcl 14369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
17	16	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
18	9, 11, 17	modfsummod 15822	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
21	20	anim1ci 625	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
22		3anass 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
23	21, 22	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
24	1	numclwwlk5 30587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
25	19, 23, 24	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
26	25	sumeq2dv 15729	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 1)
27	26	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
28	18, 27	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
29		1cnd 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
30		fsumconst 15817	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
31	10, 29, 30	syl2an 605	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
32		hashcl 14369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
34		ax-1rid 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
36	35	3ad2ant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
37	36	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
38	31, 37	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = (♯‘𝑉))
39	38	oveq1d 7411	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
40	8, 28, 39	3eqtrd 2801	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074   · cmul 11078   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568   mod cmo 13879  ♯chash 14343  Σcsu 15713   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16705  Vtxcvtx 29194  FinUSGraphcfusgr 29514   RegUSGraph crusgr 29754   ClWWalksN cclwwlkn 30223  ClWWalksNOncclwwlknon 30286   FriendGraph cfrgr 30457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-xadd 13115  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-s2 14861  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16801  df-vtx 29196  df-iedg 29197  df-edg 29246  df-uhgr 29256  df-ushgr 29257  df-upgr 29280  df-umgr 29281  df-uspgr 29348  df-usgr 29349  df-fusgr 29515  df-nbgr 29531  df-vtxdg 29664  df-rgr 29755  df-rusgr 29756  df-wwlks 30027  df-wwlksn 30028  df-wwlksnon 30029  df-clwwlk 30181  df-clwwlkn 30224  df-clwwlknon 30287  df-frgr 30458

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30590