Theorem numclwwlk6 30741

Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk6	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk6.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	finrusgrfusgr 29915	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
3	2	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4		prmnn 16727	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1	numclwwlk4 30737	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
7	3, 5, 6	syl2an 607	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
8	7	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
9	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
13	1	clwwlknonfin 30445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14		hashcl 14388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12611	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
17	16	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
18	9, 11, 17	modfsummod 15842	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
21	20	anim1ci 627	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
22		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
23	21, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
24	1	numclwwlk5 30739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
25	19, 23, 24	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
26	25	sumeq2dv 15749	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 1)
27	26	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
28	18, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
29		1cnd 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
30		fsumconst 15837	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
31	10, 29, 30	syl2an 607	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
32		hashcl 14388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
34		ax-1rid 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
35	33, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
37	36	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
38	31, 37	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = (♯‘𝑉))
39	38	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
40	8, 28, 39	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  ℝcr 11094  1c1 11096   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586   mod cmo 13898  ♯chash 14362  Σcsu 15733   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724  Vtxcvtx 29346  FinUSGraphcfusgr 29666   RegUSGraph crusgr 29906   ClWWalksN cclwwlkn 30375  ClWWalksNOncclwwlknon 30438   FriendGraph cfrgr 30609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-s2 14881  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-phi 16820  df-vtx 29348  df-iedg 29349  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-ushgr 29409  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-fusgr 29667  df-nbgr 29683  df-vtxdg 29816  df-rgr 29907  df-rusgr 29908  df-wwlks 30179  df-wwlksn 30180  df-wwlksnon 30181  df-clwwlk 30333  df-clwwlkn 30376  df-clwwlknon 30439  df-frgr 30610

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30742