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Theorem numclwwlk6 30199
Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk6.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21finrusgrfusgr 29378 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
323adant2 1129 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4 prmnn 16644 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
61numclwwlk4 30195 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
73, 5, 6syl2an 595 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
87oveq1d 7435 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
95adantl 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10 simp3 1136 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
131clwwlknonfin 29903 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14 hashcl 14347 . . . . . . 7 ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 12614 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
1716ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
189, 11, 17modfsummod 15772 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19 simpl 482 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
2120anim1ci 615 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
22 3anass 1093 . . . . . . 7 ((𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
241numclwwlk5 30197 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2519, 23, 24syl2an2r 684 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2625sumeq2dv 15681 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥𝑉 1)
2726oveq1d 7435 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
2818, 27eqtrd 2768 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
29 1cnd 11239 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
30 fsumconst 15768 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
3110, 29, 30syl2an 595 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
32 hashcl 14347 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
3332nn0red 12563 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
34 ax-1rid 11208 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
36353ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3831, 37eqtrd 2768 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = (♯‘𝑉))
3938oveq1d 7435 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
408, 28, 393eqtrd 2772 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  cc 11136  cr 11137  1c1 11139   · cmul 11143  cmin 11474  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588   mod cmo 13866  chash 14321  Σcsu 15664  cdvds 16230  cprime 16641  Vtxcvtx 28808  FinUSGraphcfusgr 29128   RegUSGraph crusgr 29369   ClWWalksN cclwwlkn 29833  ClWWalksNOncclwwlknon 29896   FriendGraph cfrgr 30067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-s2 14831  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-vtx 28810  df-iedg 28811  df-edg 28860  df-uhgr 28870  df-ushgr 28871  df-upgr 28894  df-umgr 28895  df-uspgr 28962  df-usgr 28963  df-fusgr 29129  df-nbgr 29145  df-vtxdg 29279  df-rgr 29370  df-rusgr 29371  df-wwlks 29640  df-wwlksn 29641  df-wwlksnon 29642  df-clwwlk 29791  df-clwwlkn 29834  df-clwwlknon 29897  df-frgr 30068
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30200
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