Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expcnfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnfg 42276
 Description: If 𝐹 is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 23541. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnfg.1 𝑥𝐹
expcnfg.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
expcnfg.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expcnfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem expcnfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2955 . . . . 5 𝑡((𝐹𝑥)↑𝑁)
2 expcnfg.1 . . . . . . 7 𝑥𝐹
3 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑥𝑡
42, 3nffv 6656 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑡)
5 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑥
6 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑥𝑁
74, 5, 6nfov 7166 . . . . 5 𝑥((𝐹𝑡)↑𝑁)
8 fveq2 6646 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
98oveq1d 7151 . . . . 5 (𝑥 = 𝑡 → ((𝐹𝑥)↑𝑁) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
101, 7, 9cbvmpt 5132 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑁))
11 expcnfg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
12 cncff 23508 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
15 expcnfg.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1714, 16expcld 13509 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ)
18 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝑥𝑁) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
19 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))
204, 7, 18, 19fvmptf 6767 . . . . . . 7 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
2114, 17, 20syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑡)↑𝑁))
2221eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡)))
2322mpteq2dva 5126 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
2410, 23syl5eq 2845 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
25 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2725, 26expcld 13509 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
2827fmpttd 6857 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)):ℂ⟶ℂ)
29 fcompt 6873 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
3028, 13, 29syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑡))))
3124, 30eqtr4d 2836 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹))
32 expcncf 23541 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3315, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3411, 33cncfco 23522 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3531, 34eqeltrd 2890 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ↦ cmpt 5111   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℕ0cn0 11888  ↑cexp 13428  –cn→ccncf 23491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493 This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  42636  itgsinexplem1  42639  itgsinexp  42640
 Copyright terms: Public domain W3C validator