Theorem expcnfg 43132

Description: If 𝐹 is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 24089. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
expcnfg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
expcnfg.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcnfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem expcnfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑥)↑𝑁)
2		expcnfg.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
4	2, 3	nffv 6784	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
5		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥↑
6		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑁
7	4, 5, 6	nfov 7305	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡)↑𝑁)
8		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑡))
9	8	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑁) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
10	1, 7, 9	cbvmpt 5185	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
11		expcnfg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
12		cncff 24056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	ffvelrnda 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
15		expcnfg.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 13864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ)
18		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝑥↑𝑁) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))
20	4, 7, 18, 19	fvmptf 6896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
21	14, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
22	21	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)))
23	22	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
24	10, 23	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
25		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expcld 13864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
28	27	fmpttd 6989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)):ℂ⟶ℂ)
29		fcompt 7005	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
30	28, 13, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
31	24, 30	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹))
32		expcncf 24089	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
33	15, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34	11, 33	cncfco 24070	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	31, 34	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  43492  itgsinexplem1  43495  itgsinexp  43496