Theorem expcnfg 46021

Description: If 𝐹 is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 24893. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
expcnfg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
expcnfg.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcnfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem expcnfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑥)↑𝑁)
2		expcnfg.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
4	2, 3	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
5		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥↑
6		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑁
7	4, 5, 6	nfov 7397	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡)↑𝑁)
8		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑡))
9	8	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑁) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
10	1, 7, 9	cbvmpt 5187	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
11		expcnfg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
12		cncff 24860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
15		expcnfg.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 14108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ)
18		oveq1 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝑥↑𝑁) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))
20	4, 7, 18, 19	fvmptf 6969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
21	14, 17, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡)↑𝑁))
22	21	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡)))
23	22	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑡)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
24	10, 23	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expcld 14108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
28	27	fmpttd 7067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)):ℂ⟶ℂ)
29		fcompt 7086	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
30	28, 13, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))‘(𝐹‘𝑡))))
31	24, 30	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹))
32		expcncf 24893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
33	15, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34	11, 33	cncfco 24874	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	31, 34	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   ↦ cmpt 5166   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023  –cn→ccncf 24843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845

This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  46379  itgsinexplem1  46382  itgsinexp  46383