Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expcnfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnfg 44860
Description: If 𝐹 is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 24798. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnfg.1 β„²π‘₯𝐹
expcnfg.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
expcnfg.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
expcnfg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem expcnfg
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)
2 expcnfg.1 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝐹
3 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑑
42, 3nffv 6894 . . . . . 6 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘‘)
5 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯↑
6 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑁
74, 5, 6nfov 7434 . . . . 5 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁)
8 fveq2 6884 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‘))
98oveq1d 7419 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁))
101, 7, 9cbvmpt 5252 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁))
11 expcnfg.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
12 cncff 24764 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7079 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
15 expcnfg.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1714, 16expcld 14114 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ β„‚)
18 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (π‘₯↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁))
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))
204, 7, 18, 19fvmptf 7012 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁))
2114, 17, 20syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁))
2221eqcomd 2732 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
2322mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2410, 23eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
25 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2615adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2725, 26expcld 14114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
2827fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)):β„‚βŸΆβ„‚)
29 fcompt 7126 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)):β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
3028, 13, 29syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
3124, 30eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹))
32 expcncf 24798 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
3315, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
3411, 33cncfco 24778 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3531, 34eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„•0cn0 12473  β†‘cexp 14030  β€“cnβ†’ccncf 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749
This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  45220  itgsinexplem1  45223  itgsinexp  45224
  Copyright terms: Public domain W3C validator