constrrtll - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > constrrtll		Structured version Visualization version GIF version

Theorem constrrtll 34189

Description: In the construction of constructible numbers, line-line intersections are solutions of linear equations, and can therefore be completely constructed. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constrrtll.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtll.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtll.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtll.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtll.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
constrrtll.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtll.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrrtll.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtll.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐶 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
constrrtll.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0)
constrrtll.n	⊢ 𝑁 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))

**Assertion**
Ref	Expression
constrrtll	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑁)

**Proof of Theorem constrrtll**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtll.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtll.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
4		constrrtll.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		constrrtll.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		constrrtll.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	cjsubd 33161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) = ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))
10	6, 8	subcld 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	cjcld 15275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
13		constrrtll.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
14	4, 13	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
15		constrrtll.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16	4, 15	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 16	subcld 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
18	12, 17	mulcld 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
19	14, 16	cjsubd 33161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) = ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))
20	17	cjcld 15275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
22	10, 21	mulcld 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
23	3, 18, 22	subdid 11689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))))
24	1	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶))
25		constrrtll.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26, 17	mulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
28		constrrtll.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐶 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
29	16, 27, 28	mvrladdd 11646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)))
30	24, 29	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)))
31	30, 27	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) ∈ ℂ)
32		constrrtll.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0)
33		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = 0 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = (ℑ‘0))
34		im0 15232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℑ‘0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = 0 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0)
36	35	necon3i 2992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
37	32, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
38	11, 17, 37	mulne0bbd 11889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ≠ 0)
39	31, 26, 17, 38	divmul3d 12044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = 𝑅 ↔ ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
40	30, 39	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = 𝑅)
41	40	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = (∗‘𝑅))
42	31, 17, 38	cjdivd 15302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) / (∗‘(𝐷 − 𝐶))))
43	3, 10	mulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	8, 43	addcld 11247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ℂ)
45	44, 16	cjsubd 33161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
46	8, 43	cjaddd 15299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
47	3, 10	cjmuld 15300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))))
48	2	cjred 15305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = 𝑇)
49	48, 9	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))) = (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))))
50	47, 49	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))))
51	50	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))))
52	46, 51	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))))
53	52	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
54	45, 53	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
55	54, 19	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) / (∗‘(𝐷 − 𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
56	42, 55	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
57	25	cjred 15305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑅) = 𝑅)
58	41, 56, 57	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
59	40, 58	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
60	8	cjcld 15275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
61	3, 12	mulcld 11248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
62	60, 61	addcld 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
63	16	cjcld 15275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
64	62, 63	subcld 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
65	17, 38	cjne0d 15282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
66	19, 65	eqnetrrd 3028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)) ≠ 0)
67	31, 17, 64, 21, 38, 66	divmuleqd 12056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ↔ (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
68	59, 67	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	8, 43, 16	addsubassd 11608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝐴 + ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) − 𝐶)))
70	43, 8, 16	addsub12d 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) = (𝐴 + ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) − 𝐶)))
71	69, 70	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)))
72	71	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
73	8, 16	subcld 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
74	43, 73, 21	adddird 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
75	3, 10, 21	mulassd 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
76	75	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
77	72, 74, 76	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
78	60, 61, 63	addsubassd 11608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = ((∗‘𝐴) + ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) − (∗‘𝐶))))
79	61, 60, 63	addsub12d 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) = ((∗‘𝐴) + ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) − (∗‘𝐶))))
80	78, 79	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))))
81	80	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) = (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) · (𝐷 − 𝐶)))
82	60, 63	subcld 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
83	61, 82, 17	adddird 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) · (𝐷 − 𝐶)) = (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
84	3, 12, 17	mulassd 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) = (𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
85	84	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
86	81, 83, 85	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
87	68, 77, 86	3eqtr3d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
88	3, 22	mulcld 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ)
89	73, 21	mulcld 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
90	3, 18	mulcld 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ∈ ℂ)
91	82, 17	mulcld 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
92	88, 89, 90, 91	addsubeq4d 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ↔ ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)))))
93	87, 92	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
94	23, 93	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
95	18, 22	subcld 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ)
96	89, 91	subcld 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ∈ ℂ)
97	11, 17	mulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
98		reim0b 15198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0))
99	97, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0))
100	99	necon3bbid 2997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0))
101	32, 100	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
102		cjreb 15202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
103	97, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
104	103	necon3bbid 2997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
105	101, 104	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
106	11, 17	cjmuld 15300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) · (∗‘(𝐷 − 𝐶))))
107	10	cjcjd 15278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) = (𝐵 − 𝐴))
108	107, 19	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) · (∗‘(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
109	106, 108	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
110	9	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
111	105, 109, 110	3netr3d 3036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ≠ (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
112	111	necomd 3015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
113	18, 22, 112	subne0d 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ≠ 0)
114	3, 95, 96, 113	ldiv 12068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ↔ 𝑇 = ((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))))
115	94, 114	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))))
116	115	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))
117	116	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴))))
118	1, 117	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴))))
119		constrrtll.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))
120	118, 119	eqtr4di 2818	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑁)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ⊆ wss 3906 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ℂcc 11117 ℝcr 11118 0cc0 11119 + caddc 11122 · cmul 11124 − cmin 11460 / cdiv 11890 ∗ccj 15175 ℑcim 15177

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-resscn 11176 ax-1cn 11177 ax-icn 11178 ax-addcl 11179 ax-addrcl 11180 ax-mulcl 11181 ax-mulrcl 11182 ax-mulcom 11183 ax-addass 11184 ax-mulass 11185 ax-distr 11186 ax-i2m1 11187 ax-1ne0 11188 ax-1rid 11189 ax-rnegex 11190 ax-rrecex 11191 ax-cnre 11192 ax-pre-lttri 11193 ax-pre-lttrn 11194 ax-pre-ltadd 11195 ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-pnf 11264 df-mnf 11265 df-xr 11266 df-ltxr 11267 df-le 11268 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11891 df-nn 12253 df-2 12322 df-cj 15178 df-re 15179 df-im 15180

This theorem is used by: constrfin 34204 constrelextdg2 34205

W3C validator