constrrtll - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > constrrtll		Structured version Visualization version GIF version

Theorem constrrtll 33724

Description: In the construction of constructible numbers, line-line intersections are solutions of linear equations, and can therefore be completely constructed. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constrrtll.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtll.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtll.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtll.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtll.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
constrrtll.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtll.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrrtll.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtll.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐶 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
constrrtll.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0)
constrrtll.n	⊢ 𝑁 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))

**Assertion**
Ref	Expression
constrrtll	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑁)

**Proof of Theorem constrrtll**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtll.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtll.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
4		constrrtll.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		constrrtll.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		constrrtll.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	cjsubd 32757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) = ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))
10	6, 8	subcld 11649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	cjcld 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
13		constrrtll.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑆)
14	4, 13	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
15		constrrtll.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16	4, 15	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 16	subcld 11649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
18	12, 17	mulcld 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
19	14, 16	cjsubd 32757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) = ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))
20	17	cjcld 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
22	10, 21	mulcld 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
23	3, 18, 22	subdid 11748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))))
24	1	oveq1d 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶))
25		constrrtll.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26, 17	mulcld 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
28		constrrtll.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐶 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
29	16, 27, 28	mvrladdd 11705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)))
30	24, 29	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶)))
31	30, 27	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) ∈ ℂ)
32		constrrtll.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0)
33		fveq2 6922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = 0 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = (ℑ‘0))
34		im0 15204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℑ‘0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = 0 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0)
36	35	necon3i 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
37	32, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
38	11, 17, 37	mulne0bbd 11948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ≠ 0)
39	31, 26, 17, 38	divmul3d 12106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = 𝑅 ↔ ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝑅 · (𝐷 − 𝐶))))
40	30, 39	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = 𝑅)
41	40	fveq2d 6926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = (∗‘𝑅))
42	31, 17, 38	cjdivd 15274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) / (∗‘(𝐷 − 𝐶))))
43	3, 10	mulcld 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	8, 43	addcld 11311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ℂ)
45	44, 16	cjsubd 32757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
46	8, 43	cjaddd 15271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
47	3, 10	cjmuld 15272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))))
48	2	cjred 15277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = 𝑇)
49	48, 9	oveq12d 7468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))) = (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))))
50	47, 49	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))))
51	50	oveq2d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))))
52	46, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))))
53	52	oveq1d 7465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
54	45, 53	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
55	54, 19	oveq12d 7468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) / (∗‘(𝐷 − 𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
56	42, 55	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
57	25	cjred 15277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑅) = 𝑅)
58	41, 56, 57	3eqtr3rd 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
59	40, 58	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
60	8	cjcld 15247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
61	3, 12	mulcld 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
62	60, 61	addcld 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
63	16	cjcld 15247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
64	62, 63	subcld 11649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
65	17, 38	cjne0d 15254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐷 − 𝐶)) ≠ 0)
66	19, 65	eqnetrrd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)) ≠ 0)
67	31, 17, 64, 21, 38, 66	divmuleqd 12118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) / (𝐷 − 𝐶)) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ↔ (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
68	59, 67	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	8, 43, 16	addsubassd 11669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = (𝐴 + ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) − 𝐶)))
70	43, 8, 16	addsub12d 11672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) = (𝐴 + ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) − 𝐶)))
71	69, 70	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) = ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)))
72	71	oveq1d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
73	8, 16	subcld 11649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
74	43, 73, 21	adddird 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + (𝐴 − 𝐶)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
75	3, 10, 21	mulassd 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
76	75	oveq1d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
77	72, 74, 76	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) = ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))
78	60, 61, 63	addsubassd 11669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = ((∗‘𝐴) + ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) − (∗‘𝐶))))
79	61, 60, 63	addsub12d 11672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) = ((∗‘𝐴) + ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) − (∗‘𝐶))))
80	78, 79	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))))
81	80	oveq1d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) = (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) · (𝐷 − 𝐶)))
82	60, 63	subcld 11649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
83	61, 82, 17	adddird 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) + ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶))) · (𝐷 − 𝐶)) = (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
84	3, 12, 17	mulassd 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) = (𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
85	84	oveq1d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) · (𝐷 − 𝐶)) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
86	81, 83, 85	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑇 · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
87	68, 77, 86	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
88	3, 22	mulcld 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ)
89	73, 21	mulcld 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
90	3, 18	mulcld 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ∈ ℂ)
91	82, 17	mulcld 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
92	88, 89, 90, 91	addsubeq4d 11700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) + ((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) + (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ↔ ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶)))))
93	87, 92	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) − (𝑇 · ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
94	23, 93	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))))
95	18, 22	subcld 11649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ)
96	89, 91	subcld 11649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ∈ ℂ)
97	11, 17	mulcld 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
98		reim0b 15170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0))
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = 0))
100	99	necon3bbid 2984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ 0))
101	32, 100	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
102		cjreb 15174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
103	97, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
104	103	necon3bbid 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))))
105	101, 104	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) ≠ ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
106	11, 17	cjmuld 15272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) · (∗‘(𝐷 − 𝐶))))
107	10	cjcjd 15250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) = (𝐵 − 𝐴))
108	107, 19	oveq12d 7468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(∗‘(𝐵 − 𝐴))) · (∗‘(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
109	106, 108	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
110	9	oveq1d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) = (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
111	105, 109, 110	3netr3d 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) ≠ (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))
112	111	necomd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) ≠ ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))
113	18, 22, 112	subne0d 11658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))) ≠ 0)
114	3, 95, 96, 113	ldiv 12130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) ↔ 𝑇 = ((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶)))))))
115	94, 114	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))))
116	115	oveq1d 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))
117	116	oveq2d 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴))))
118	1, 117	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴))))
119		constrrtll.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝐴 + (((((𝐴 − 𝐶) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))) − (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · (𝐷 − 𝐶))) / ((((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐴) · ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐶))))) · (𝐵 − 𝐴)))
120	118, 119	eqtr4di 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑁)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ⊆ wss 3976 ‘cfv 6575 (class class class)co 7450 ℂcc 11184 ℝcr 11185 0cc0 11186 + caddc 11189 · cmul 11191 − cmin 11522 / cdiv 11949 ∗ccj 15147 ℑcim 15149

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7772 ax-resscn 11243 ax-1cn 11244 ax-icn 11245 ax-addcl 11246 ax-addrcl 11247 ax-mulcl 11248 ax-mulrcl 11249 ax-mulcom 11250 ax-addass 11251 ax-mulass 11252 ax-distr 11253 ax-i2m1 11254 ax-1ne0 11255 ax-1rid 11256 ax-rnegex 11257 ax-rrecex 11258 ax-cnre 11259 ax-pre-lttri 11260 ax-pre-lttrn 11261 ax-pre-ltadd 11262 ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-id 5593 df-po 5607 df-so 5608 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-iota 6527 df-fun 6577 df-fn 6578 df-f 6579 df-f1 6580 df-fo 6581 df-f1o 6582 df-fv 6583 df-riota 7406 df-ov 7453 df-oprab 7454 df-mpo 7455 df-er 8765 df-en 9006 df-dom 9007 df-sdom 9008 df-pnf 11328 df-mnf 11329 df-xr 11330 df-ltxr 11331 df-le 11332 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11950 df-2 12358 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152

This theorem is referenced by: constrfin 33738 constrelextdg2 33739

W3C validator