Theorem discsnterm 50204

Description: A discrete category (a category whose only morphisms are the identity morphisms) with a singlegon base is terminal. Corollary of example 3.3(4)(c) of [Adamek] p. 24 and example 3.26(1) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discthin.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
discthin.c	⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
discsnterm	⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem discsnterm

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsntermlem 50200	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
2		discthin.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
3		discthin.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)
4	2, 3	discthin 50203	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ ThinCat)
6		elex 3478	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐵 ∈ V)
7	2, 3	discbas 50202	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐶))
8	7	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = {𝑥} ↔ (Base‘𝐶) = {𝑥}))
9	8	exbidv 1944	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
10	1, 6, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
11	10	ibi 270	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥})
12		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	12	istermc 50104	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
14	5, 11, 13	sylanbrc 594	1 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  {cab 2743  Vcvv 3457  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6525  ndxcnx 17241  Basecbs 17257  lecple 17305  ThinCatcthinc 50047  TermCatctermc 50102  ProsetToCatcprstc 50179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ple 17318  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-proset 18338  df-poset 18357  df-thinc 50048  df-termc 50103  df-prstc 50180

This theorem is referenced by:  basrestermcfo  50205