Theorem discsnterm 49605

Description: A discrete category (a category whose only morphisms are the identity morphisms) with a singlegon base is terminal. Corollary of example 3.3(4)(c) of [Adamek] p. 24 and example 3.26(1) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discthin.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
discthin.c	⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
discsnterm	⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem discsnterm

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsntermlem 49601	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
2		discthin.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
3		discthin.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)
4	2, 3	discthin 49604	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ ThinCat)
6		elex 3457	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐵 ∈ V)
7	2, 3	discbas 49603	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐶))
8	7	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = {𝑥} ↔ (Base‘𝐶) = {𝑥}))
9	8	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
10	1, 6, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
11	10	ibi 267	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥})
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	12	istermc 49505	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
14	5, 11, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709  Vcvv 3436  {csn 4576  {cpr 4578  ⟨cop 4582   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  ndxcnx 17101  Basecbs 17117  lecple 17165  ThinCatcthinc 49448  TermCatctermc 49503  ProsetToCatcprstc 49580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ple 17178  df-hom 17182  df-cco 17183  df-cat 17571  df-cid 17572  df-proset 18197  df-poset 18216  df-thinc 49449  df-termc 49504  df-prstc 49581

This theorem is referenced by:  basrestermcfo  49606