Theorem discsnterm 51043

Description: A discrete category (a category whose only morphisms are the identity morphisms) with a singlegon base is terminal. Corollary of example 3.3(4)(c) of [Adamek] p. 24 and example 3.26(1) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discthin.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
discthin.c	⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
discsnterm	⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem discsnterm

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsntermlem 51039	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
2		discthin.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
3		discthin.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)
4	2, 3	discthin 51042	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ ThinCat)
6		elex 3475	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐵 ∈ V)
7	2, 3	discbas 51041	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐶))
8	7	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = {𝑥} ↔ (Base‘𝐶) = {𝑥}))
9	8	exbidv 1956	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
10	1, 6, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
11	10	ibi 270	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥})
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	12	istermc 50940	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
14	5, 11, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4840   I cid 5552   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  lecple 17479  ThinCatcthinc 50883  TermCatctermc 50938  ProsetToCatcprstc 51018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ple 17493  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-proset 18518  df-poset 18537  df-thinc 50884  df-termc 50939  df-prstc 51019

This theorem is used by:  basrestermcfo  51044