Theorem discsnterm 50819

Description: A discrete category (a category whose only morphisms are the identity morphisms) with a singlegon base is terminal. Corollary of example 3.3(4)(c) of [Adamek] p. 24 and example 3.26(1) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discthin.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
discthin.c	⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
discsnterm	⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem discsnterm

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsntermlem 50815	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
2		discthin.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
3		discthin.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)
4	2, 3	discthin 50818	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ ThinCat)
6		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐵 ∈ V)
7	2, 3	discbas 50817	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐶))
8	7	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = {𝑥} ↔ (Base‘𝐶) = {𝑥}))
9	8	exbidv 1953	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
10	1, 6, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
11	10	ibi 270	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥})
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	12	istermc 50716	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
14	5, 11, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {cab 2738  Vcvv 3450  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6541  ndxcnx 17378  Basecbs 17394  lecple 17442  ThinCatcthinc 50659  TermCatctermc 50714  ProsetToCatcprstc 50794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ple 17455  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-proset 18475  df-poset 18494  df-thinc 50660  df-termc 50715  df-prstc 50795

This theorem is used by:  basrestermcfo  50820