Theorem discsnterm 50049

Description: A discrete category (a category whose only morphisms are the identity morphisms) with a singlegon base is terminal. Corollary of example 3.3(4)(c) of [Adamek] p. 24 and example 3.26(1) of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discthin.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
discthin.c	⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
discsnterm	⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem discsnterm

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsntermlem 50045	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
2		discthin.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
3		discthin.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾)
4	2, 3	discthin 50048	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ ThinCat)
6		elex 3450	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝐵 ∈ V)
7	2, 3	discbas 50047	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐶))
8	7	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 = {𝑥} ↔ (Base‘𝐶) = {𝑥}))
9	8	exbidv 1923	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
10	1, 6, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} ↔ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
11	10	ibi 267	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥})
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	12	istermc 49949	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑥(Base‘𝐶) = {𝑥}))
14	5, 11, 13	sylanbrc 584	1 ⊢ (∃𝑥 𝐵 = {𝑥} → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2714  Vcvv 3429  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  lecple 17227  ThinCatcthinc 49892  TermCatctermc 49947  ProsetToCatcprstc 50024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-proset 18260  df-poset 18279  df-thinc 49893  df-termc 49948  df-prstc 50025

This theorem is referenced by:  basrestermcfo  50050