Theorem basrestermcfo 49313

Description: The base function restricted to the class of terminal categories maps the class of terminal categories onto the class of singletons. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
basrestermcfo	⊢ (Base ↾ TermCat):TermCat–onto→{𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}}

Distinct variable group:   𝑥,𝑏

Proof of Theorem basrestermcfo

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 17219	. 2 ⊢ Base Fn V
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ TermCat → 𝑐 ∈ TermCat)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑐) = (Base‘𝑐)
4	2, 3	termcbas 49227	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ TermCat → ∃𝑥(Base‘𝑐) = {𝑥})
5		discsntermlem 49308	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Base‘𝑐) = {𝑥} → (Base‘𝑐) ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ TermCat → (Base‘𝑐) ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}})
7		basrestermcfolem 49309	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → ∃𝑥 𝑎 = {𝑥})
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩}
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ProsetToCat‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩}) = (ProsetToCat‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩})
10	8, 9	discsnterm 49312	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑎 = {𝑥} → (ProsetToCat‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩}) ∈ TermCat)
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → (ProsetToCat‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩}) ∈ TermCat)
12	8, 9	discbas 49310	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}} → 𝑎 = (Base‘(ProsetToCat‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝑎)⟩})))
13	1, 6, 11, 12	slotresfo 48767	1 ⊢ (Base ↾ TermCat):TermCat–onto→{𝑏 ∣ ∃𝑥 𝑏 = {𝑥}}

Syntax hints:   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2712  {csn 4599  {cpr 4601  ⟨cop 4605   I cid 5545   ↾ cres 5654  –onto→wfo 6526  ‘cfv 6528  ndxcnx 17199  Basecbs 17215  lecple 17265  TermCatctermc 49219  ProsetToCatcprstc 49287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ple 17278  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17667  df-cid 17668  df-proset 18293  df-poset 18312  df-thinc 49167  df-termc 49220  df-prstc 49288

This theorem is referenced by:  termcnex  49314