Theorem leabsd 15506

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leabsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leabs 15390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11127   ≤ cle 11272  abscabs 15325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327

This theorem is used by:  lo1bddrp  15616  o1rlimmul  15710  nm2dif  24857  trirn  25634  bddiblnc  26076  mtestbdd  26648  abscxpbnd  26998  cxploglim2  27223  logexprlim  27469  rplogsumlem2  27729  dchrvmasumlem2  27742  dchrvmasumlem3  27743  dchrisum0flblem1  27752  dchrisum0fno1  27755  dchrisum0lem1  27760  mulog2sumlem2  27779  selberglem2  27790  chpdifbndlem1  27797  selberg3lem1  27801  pntrsumo1  27809  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem3  27823  leopnmid  32627  dnibndlem7  37189  dnibndlem8  37190  dnibndlem12  37194  geomcau  38517  radcnvrat  45146  rexabslelem  46254  climleltrp  46512  ioodvbdlimc1lem1  46767  ioodvbdlimc1lem2  46768  ioodvbdlimc2lem  46770  fourierdlem77  47019  ioorrnopnlem  47140  sge0isum  47263  hoicvr  47384  smflimlem4  47610  smfmullem1  47627