Theorem leabsd 15433

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leabsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leabs 15318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℝcr 11128   ≤ cle 11270  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15541  o1rlimmul  15635  nm2dif  24564  trirn  25352  bddiblnc  25795  mtestbdd  26366  abscxpbnd  26715  cxploglim2  26941  logexprlim  27188  rplogsumlem2  27448  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1  27479  mulog2sumlem2  27498  selberglem2  27509  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  leopnmid  32119  dnibndlem7  36502  dnibndlem8  36503  dnibndlem12  36507  geomcau  37783  radcnvrat  44338  rexabslelem  45445  climleltrp  45705  ioodvbdlimc1lem1  45960  ioodvbdlimc1lem2  45961  ioodvbdlimc2lem  45963  fourierdlem77  46212  ioorrnopnlem  46333  sge0isum  46456  hoicvr  46577  smflimlem4  46803  smfmullem1  46820