Theorem dvhbase 39085

Description: The ring base set of the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhbase.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhbase.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhbase.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhbase	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = 𝐸)

Proof of Theorem dvhbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhbase.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
2		dvhbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhbase.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhbase.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	dvhsca 39084	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
7	6	fveq2d 6773	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐹) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 7	eqtrid 2792	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dvhbase.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 9, 10, 3, 11	erngbase 38803	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = 𝐸)
13	8, 12	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐶 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  Basecbs 16902  Scalarcsca 16955  LHypclh 37986  LTrncltrn 38103  TEndoctendo 38754  EDRingcedring 38755  DVecHcdvh 39080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-fz 13231  df-struct 16838  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-edring 38759  df-dvech 39081

This theorem is referenced by:  dvhvaddass  39099  tendoinvcl  39106  tendolinv  39107  tendorinv  39108  dvhgrp  39109  dvhlveclem  39110  dib1dim2  39170  diblss  39172  diclss  39195  diclspsn  39196  cdlemn4  39200  dih1dimatlem  39331