Theorem frgpcpbl 19365

Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpval.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpval.b	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frgpcpbl	⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem frgpcpbl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		frgpval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgcpbl2 19363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 ++ 𝐵) ∼ (𝐶 ++ 𝐷))
8	1, 2	efger 19324	. . . . . 6 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
10		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∼ 𝐶)
11	9, 10	ercl 8509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
12	1	efgrcl 19321	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
14	13	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	13	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
16		2on 8311	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		frgpval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	frmdbas 18491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = (Base‘𝑀))
24	11, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∼ 𝐷)
26	9, 25	ercl 8509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
27	26, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑀))
28		frgpcpbl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
29	19, 20, 28	frmdadd 18494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
30	24, 27, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
31	9, 10	ercl2 8511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
32	31, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑀))
33	9, 25	ercl2 8511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
34	33, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ (Base‘𝑀))
35	19, 20, 28	frmdadd 18494	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
36	32, 34, 35	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
37	7, 30, 36	3brtr4d 5106	1 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567  ⟨cotp 4569  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587  ran crn 5590  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291   Er wer 8495  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273   splice csplice 14462  ⟨“cs2 14554  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  freeMndcfrmd 18486   ~_FG cefg 19312  freeGrpcfrgp 19313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-s2 14561  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-frmd 18488  df-efg 19315

This theorem is referenced by:  frgp0  19366  frgpadd  19369