Theorem frgpcpbl 19732

Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpval.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpval.b	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frgpcpbl	⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem frgpcpbl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		frgpval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgcpbl2 19730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 ++ 𝐵) ∼ (𝐶 ++ 𝐷))
8	1, 2	efger 19691	. . . . . 6 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
10		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∼ 𝐶)
11	9, 10	ercl 8652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
12	1	efgrcl 19688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
14	13	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	13	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
16		2on 8415	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		frgpval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	frmdbas 18818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = (Base‘𝑀))
24	11, 23	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∼ 𝐷)
26	9, 25	ercl 8652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
27	26, 23	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑀))
28		frgpcpbl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
29	19, 20, 28	frmdadd 18821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
30	24, 27, 29	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
31	9, 10	ercl2 8654	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
32	31, 23	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑀))
33	9, 25	ercl2 8654	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
34	33, 23	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ (Base‘𝑀))
35	19, 20, 28	frmdadd 18821	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
36	32, 34, 35	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
37	7, 30, 36	3brtr4d 5111	1 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  ∅c0 4268  {csn 4562  ⟨cop 4568  ⟨cotp 4570  ∪ ciun 4928   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   I cid 5519   × cxp 5623  ran crn 5626  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396   Er wer 8637  0cc0 11036  1c1 11037   − cmin 11375  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473   ++ cconcat 14530   splice csplice 14709  ⟨“cs2 14801  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  freeMndcfrmd 18813   ~_FG cefg 19679  freeGrpcfrgp 19680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-ec 8642  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-splice 14710  df-s2 14808  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-frmd 18815  df-efg 19682

This theorem is referenced by:  frgp0  19733  frgpadd  19736