Theorem frgpcpbl 19723

Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpval.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpval.b	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frgpcpbl	⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem frgpcpbl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		frgpval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgcpbl2 19721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 ++ 𝐵) ∼ (𝐶 ++ 𝐷))
8	1, 2	efger 19682	. . . . . 6 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∼ 𝐶)
11	9, 10	ercl 8646	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
12	1	efgrcl 19679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
16		2on 8409	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		frgpval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	frmdbas 18809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = (Base‘𝑀))
24	11, 23	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∼ 𝐷)
26	9, 25	ercl 8646	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
27	26, 23	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑀))
28		frgpcpbl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
29	19, 20, 28	frmdadd 18812	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
30	24, 27, 29	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
31	9, 10	ercl2 8648	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
32	31, 23	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑀))
33	9, 25	ercl2 8648	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
34	33, 23	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ (Base‘𝑀))
35	19, 20, 28	frmdadd 18812	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
36	32, 34, 35	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
37	7, 30, 36	3brtr4d 5118	1 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5516   × cxp 5620  ran crn 5623  Oncon0 6315  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390   Er wer 8631  0cc0 11027  1c1 11028   − cmin 11366  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597  ♯chash 14281  Word cword 14464   ++ cconcat 14521   splice csplice 14700  ⟨“cs2 14792  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  freeMndcfrmd 18804   ~_FG cefg 19670  freeGrpcfrgp 19671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-ec 8636  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14701  df-s2 14799  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-frmd 18806  df-efg 19673

This theorem is referenced by:  frgp0  19724  frgpadd  19727