Theorem frgpcpbl 19280

Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpval.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpval.b	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frgpcpbl	⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem frgpcpbl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑡 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		frgpval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgcpbl2 19278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 ++ 𝐵) ∼ (𝐶 ++ 𝐷))
8	1, 2	efger 19239	. . . . . 6 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∼ 𝐶)
11	9, 10	ercl 8467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
12	1	efgrcl 19236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 ∈ V ∧ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
16		2on 8275	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		frgpval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	frmdbas 18406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (Base‘𝑀) = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = (Base‘𝑀))
24	11, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑀))
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∼ 𝐷)
26	9, 25	ercl 8467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
27	26, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑀))
28		frgpcpbl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
29	19, 20, 28	frmdadd 18409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
30	24, 27, 29	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
31	9, 10	ercl2 8469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
32	31, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑀))
33	9, 25	ercl2 8469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
34	33, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → 𝐷 ∈ (Base‘𝑀))
35	19, 20, 28	frmdadd 18409	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
36	32, 34, 35	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 ++ 𝐷))
37	7, 30, 36	3brtr4d 5102	1 ⊢ ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   × cxp 5578  ran crn 5581  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   Er wer 8453  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201   splice csplice 14390  ⟨“cs2 14482  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  freeMndcfrmd 18401   ~_FG cefg 19227  freeGrpcfrgp 19228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-ec 8458  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-s2 14489  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-frmd 18403  df-efg 19230

This theorem is referenced by:  frgp0  19281  frgpadd  19284