MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbl2 19667
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
31, 2efger 19628 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → Er 𝑊)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 𝑋)
64, 5ercl 8718 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴𝑊)
7 wrd0 14494 . . . . 5 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
81efgrcl 19625 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
109simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
117, 10eleqtrrid 2839 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ∅ ∈ 𝑊)
12 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 𝑌)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19666 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∅ ∈ 𝑊𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
186, 11, 12, 17syl3anc 1370 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
196, 10eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
204, 12ercl 8718 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵𝑊)
2120, 10eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o))
22 ccatcl 14529 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2319, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
24 ccatrid 14542 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
264, 12ercl2 8720 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌𝑊)
2726, 10eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o))
28 ccatcl 14529 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2919, 27, 28syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
30 ccatrid 14542 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3218, 25, 313brtr3d 5179 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝐴 ++ 𝑌))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19666 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑊𝑌𝑊𝐴 𝑋) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1370 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
35 ccatlid 14541 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 7427 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) = (𝐴 ++ 𝑌))
384, 5ercl2 8720 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋𝑊)
3938, 10eleqtrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o))
40 ccatlid 14541 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 7427 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌) = (𝑋 ++ 𝑌))
4334, 37, 423brtr3d 5179 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) (𝑋 ++ 𝑌))
444, 32, 43ertrd 8723 1 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3945  c0 4322  {csn 4628  cop 4634  cotp 4636   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  1oc1o 8463  2oc2o 8464   Er wer 8704  0cc0 11114  1c1 11115  cmin 11449  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525   splice csplice 14704  ⟨“cs2 14797   ~FG cefg 19616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-ec 8709  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-s2 14804  df-efg 19619
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  19669
  Copyright terms: Public domain W3C validator