MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efgcpbl2 19714
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)
Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
31, 2efger 19675 . . 3 ∼ Er π‘Š
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ∼ Er π‘Š)
5 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∼ 𝑋)
64, 5ercl 8732 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
7 wrd0 14519 . . . . 5 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
81efgrcl 19672 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
109simprd 494 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
117, 10eleqtrrid 2832 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ βˆ… ∈ π‘Š)
12 simpr 483 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∼ π‘Œ)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19713 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ βˆ… ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…))
186, 11, 12, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…))
196, 10eleqtrd 2827 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
204, 12ercl 8732 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
2120, 10eleqtrd 2827 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
22 ccatcl 14554 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
2319, 21, 22syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
24 ccatrid 14567 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ 𝐡))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ 𝐡))
264, 12ercl2 8734 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ π‘Š)
2726, 10eleqtrd 2827 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
28 ccatcl 14554 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ π‘Œ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
2919, 27, 28syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
30 ccatrid 14567 . . . 4 ((𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ π‘Œ))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ π‘Œ))
3218, 25, 313brtr3d 5172 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝐴 ++ π‘Œ))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19713 . . . 4 ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∼ 𝑋) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) ∼ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) ∼ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ))
35 ccatlid 14566 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (βˆ… ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 7429 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) = (𝐴 ++ π‘Œ))
384, 5ercl2 8734 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
3938, 10eleqtrd 2827 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
40 ccatlid 14566 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (βˆ… ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 7429 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ) = (𝑋 ++ π‘Œ))
4334, 37, 423brtr3d 5172 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
444, 32, 43ertrd 8737 1 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936  βˆ…c0 4316  {csn 4622  βŸ¨cop 4628  βŸ¨cotp 4630  βˆͺ ciun 4989   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5567   Γ— cxp 5668  ran crn 5671  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1oc1o 8476  2oc2o 8477   Er wer 8718  0cc0 11136  1c1 11137   βˆ’ cmin 11472  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Word cword 14494   ++ cconcat 14550   splice csplice 14729  βŸ¨β€œcs2 14822   ~FG cefg 19663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-s2 14829  df-efg 19666
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  19716
  Copyright terms: Public domain W3C validator