MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbl2 19539
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
31, 2efger 19500 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → Er 𝑊)
5 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 𝑋)
64, 5ercl 8659 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴𝑊)
7 wrd0 14427 . . . . 5 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
81efgrcl 19497 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
109simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
117, 10eleqtrrid 2845 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ∅ ∈ 𝑊)
12 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 𝑌)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19538 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∅ ∈ 𝑊𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
186, 11, 12, 17syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
196, 10eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
204, 12ercl 8659 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵𝑊)
2120, 10eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o))
22 ccatcl 14462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
24 ccatrid 14475 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
264, 12ercl2 8661 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌𝑊)
2726, 10eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o))
28 ccatcl 14462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2919, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
30 ccatrid 14475 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3218, 25, 313brtr3d 5136 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝐴 ++ 𝑌))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19538 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑊𝑌𝑊𝐴 𝑋) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
35 ccatlid 14474 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 7372 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) = (𝐴 ++ 𝑌))
384, 5ercl2 8661 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋𝑊)
3938, 10eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o))
40 ccatlid 14474 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 7372 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌) = (𝑋 ++ 𝑌))
4334, 37, 423brtr3d 5136 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) (𝑋 ++ 𝑌))
444, 32, 43ertrd 8664 1 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cotp 4594   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406   Er wer 8645  0cc0 11051  1c1 11052  cmin 11385  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458   splice csplice 14637  ⟨“cs2 14730   ~FG cefg 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-s2 14737  df-efg 19491
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  19541
  Copyright terms: Public domain W3C validator