MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efgcpbl2 19619
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)
Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
31, 2efger 19580 . . 3 ∼ Er π‘Š
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ∼ Er π‘Š)
5 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∼ 𝑋)
64, 5ercl 8710 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
7 wrd0 14485 . . . . 5 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
81efgrcl 19577 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
109simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
117, 10eleqtrrid 2840 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ βˆ… ∈ π‘Š)
12 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∼ π‘Œ)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19618 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ βˆ… ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…))
186, 11, 12, 17syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) ∼ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…))
196, 10eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
204, 12ercl 8710 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
2120, 10eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
22 ccatcl 14520 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐡 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
24 ccatrid 14533 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐡) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ 𝐡))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ 𝐡) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ 𝐡))
264, 12ercl2 8712 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ π‘Š)
2726, 10eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
28 ccatcl 14520 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ π‘Œ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
2919, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
30 ccatrid 14533 . . . 4 ((𝐴 ++ π‘Œ) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ π‘Œ))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((𝐴 ++ π‘Œ) ++ βˆ…) = (𝐴 ++ π‘Œ))
3218, 25, 313brtr3d 5178 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝐴 ++ π‘Œ))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 19618 . . . 4 ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ π‘Œ ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∼ 𝑋) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) ∼ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) ∼ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ))
35 ccatlid 14532 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (βˆ… ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 7420 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝐴) ++ π‘Œ) = (𝐴 ++ π‘Œ))
384, 5ercl2 8712 . . . . . 6 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
3938, 10eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
40 ccatlid 14532 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (βˆ… ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 7420 . . 3 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ ((βˆ… ++ 𝑋) ++ π‘Œ) = (𝑋 ++ π‘Œ))
4334, 37, 423brtr3d 5178 . 2 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ π‘Œ) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
444, 32, 43ertrd 8715 1 ((𝐴 ∼ 𝑋 ∧ 𝐡 ∼ π‘Œ) β†’ (𝐴 ++ 𝐡) ∼ (𝑋 ++ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βŸ¨cotp 4635  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1oc1o 8455  2oc2o 8456   Er wer 8696  0cc0 11106  1c1 11107   βˆ’ cmin 11440  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516   splice csplice 14695  βŸ¨β€œcs2 14788   ~FG cefg 19568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-s2 14795  df-efg 19571
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator