MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbl2 18803
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
31, 2efger 18764 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → Er 𝑊)
5 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 𝑋)
64, 5ercl 8290 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴𝑊)
7 wrd0 13879 . . . . 5 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
81efgrcl 18761 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
109simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
117, 10eleqtrrid 2925 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ∅ ∈ 𝑊)
12 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 𝑌)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18802 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∅ ∈ 𝑊𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
186, 11, 12, 17syl3anc 1365 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
196, 10eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
204, 12ercl 8290 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵𝑊)
2120, 10eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o))
22 ccatcl 13916 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o))
24 ccatrid 13931 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
264, 12ercl2 8292 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌𝑊)
2726, 10eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o))
28 ccatcl 13916 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2919, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o))
30 ccatrid 13931 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3218, 25, 313brtr3d 5094 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝐴 ++ 𝑌))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18802 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑊𝑌𝑊𝐴 𝑋) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1365 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
35 ccatlid 13930 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 7163 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) = (𝐴 ++ 𝑌))
384, 5ercl2 8292 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋𝑊)
3938, 10eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o))
40 ccatlid 13930 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 7163 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌) = (𝑋 ++ 𝑌))
4334, 37, 423brtr3d 5094 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) (𝑋 ++ 𝑌))
444, 32, 43ertrd 8295 1 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  Vcvv 3500  cdif 3937  c0 4295  {csn 4564  cop 4570  cotp 4572   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143   I cid 5458   × cxp 5552  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  1oc1o 8086  2oc2o 8087   Er wer 8276  0cc0 10526  1c1 10527  cmin 10859  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13912   splice csplice 14101  ⟨“cs2 14193   ~FG cefg 18752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-ec 8281  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023  df-splice 14102  df-s2 14200  df-efg 18755
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  18805
  Copyright terms: Public domain W3C validator