MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg 19157
Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
lagsubg ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2 pwfi 9209 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
5 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (๐บ ~QG ๐‘Œ) = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
64, 5eqger 19140 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
87qsss 8803 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โІ ๐’ซ ๐‘‹)
93, 8ssfid 9298 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
10 hashcl 14355 . . . . 5 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12622 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค)
13 id 22 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
144subgss 19089 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘Œ โІ ๐‘‹)
15 ssfi 9204 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง ๐‘Œ โІ ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
1613, 14, 15syl2anr 595 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
17 hashcl 14355 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 12622 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
20 dvdsmul2 16263 . . 3 (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2112, 19, 20syl2anc 582 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
22 simpl 481 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
234, 5, 22, 1lagsubg2 19156 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2421, 23breqtrrd 5180 1 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3949  ๐’ซ cpw 4606   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728   / cqs 8730  Fincfn 8970   ยท cmul 11151  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ™ฏchash 14329   โˆฅ cdvds 16238  Basecbs 17187  SubGrpcsubg 19082   ~QG cqg 19084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-dvds 16239  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-eqg 19087
This theorem is referenced by:  oddvds2  19528  fislw  19587  sylow3lem4  19592  ablfacrp2  20031  ablfac1c  20035  ablfac1eu  20037  prmgrpsimpgd  20078
  Copyright terms: Public domain W3C validator