MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg 18044
Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lagsubg ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8551 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 210 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝐺 ~QG 𝑌) = (𝐺 ~QG 𝑌)
64, 5eqger 18032 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
76adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
87qsss 8093 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ⊆ 𝒫 𝑋)
93, 8ssfid 8473 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin)
10 hashcl 13466 . . . . 5 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11836 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ)
13 id 22 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
144subgss 17983 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
15 ssfi 8470 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
1613, 14, 15syl2anr 590 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
17 hashcl 13466 . . . . 5 (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 11836 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℤ)
20 dvdsmul2 15415 . . 3 (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℤ) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
2112, 19, 20syl2anc 579 . 2 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
22 simpl 476 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
234, 5, 22, 1lagsubg2 18043 . 2 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
2421, 23breqtrrd 4916 1 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924   Er wer 8025   / cqs 8027  Fincfn 8243   · cmul 10279  0cn0 11646  cz 11732  chash 13439  cdvds 15391  Basecbs 16259  SubGrpcsubg 17976   ~QG cqg 17978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-dvds 15392  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-subg 17979  df-eqg 17981
This theorem is referenced by:  oddvds2  18371  fislw  18428  sylow3lem4  18433  ablfacrp2  18857  ablfac1c  18861  ablfac1eu  18863
  Copyright terms: Public domain W3C validator