MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg 19066
Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
lagsubg ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2 pwfi 9174 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐บ ~QG ๐‘Œ) = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
64, 5eqger 19052 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
87qsss 8768 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
93, 8ssfid 9263 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
10 hashcl 14312 . . . . 5 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12580 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค)
13 id 22 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
144subgss 19001 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹)
15 ssfi 9169 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
1613, 14, 15syl2anr 597 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
17 hashcl 14312 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 12580 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
20 dvdsmul2 16218 . . 3 (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2112, 19, 20syl2anc 584 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
22 simpl 483 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
234, 5, 22, 1lagsubg2 19065 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2421, 23breqtrrd 5175 1 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3947  ๐’ซ cpw 4601   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696   / cqs 8698  Fincfn 8935   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ™ฏchash 14286   โˆฅ cdvds 16193  Basecbs 17140  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-eqg 18999
This theorem is referenced by:  oddvds2  19428  fislw  19487  sylow3lem4  19492  ablfacrp2  19931  ablfac1c  19935  ablfac1eu  19937  prmgrpsimpgd  19978
  Copyright terms: Public domain W3C validator