Theorem lagsubg 18341

Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg	⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem lagsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2		pwfi 8818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3	1, 2	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4		lagsubg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) = (𝐺 ~QG 𝑌)
6	4, 5	eqger 18329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
7	6	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
8	7	qsss 8357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ⊆ 𝒫 𝑋)
9	3, 8	ssfid 8740	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin)
10		hashcl 13716	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12084	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
14	4	subgss 18279	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15		ssfi 8737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
16	13, 14, 15	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
17		hashcl 13716	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12084	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℤ)
20		dvdsmul2 15631	. . 3 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℤ) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
21	12, 19, 20	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
22		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	4, 5, 22, 1	lagsubg2 18340	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
24	21, 23	breqtrrd 5093	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   Er wer 8285   / cqs 8287  Fincfn 8508   · cmul 10541  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  ♯chash 13689   ∥ cdvds 15606  Basecbs 16482  SubGrpcsubg 18272   ~_QG cqg 18274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-ec 8290  df-qs 8294  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-dvds 15607  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-subg 18275  df-eqg 18277

This theorem is referenced by:  oddvds2  18692  fislw  18749  sylow3lem4  18754  ablfacrp2  19188  ablfac1c  19192  ablfac1eu  19194  prmgrpsimpgd  19235