MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg 19118
Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
lagsubg ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2 pwfi 9177 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
5 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐บ ~QG ๐‘Œ) = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
64, 5eqger 19102 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘Œ) Er ๐‘‹)
87qsss 8771 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โІ ๐’ซ ๐‘‹)
93, 8ssfid 9266 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
10 hashcl 14318 . . . . 5 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12585 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค)
13 id 22 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
144subgss 19051 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘Œ โІ ๐‘‹)
15 ssfi 9172 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง ๐‘Œ โІ ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
1613, 14, 15syl2anr 596 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
17 hashcl 14318 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 12585 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
20 dvdsmul2 16226 . . 3 (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2112, 19, 20syl2anc 583 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
22 simpl 482 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
234, 5, 22, 1lagsubg2 19117 . 2 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘Œ))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
2421, 23breqtrrd 5169 1 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  ๐’ซ cpw 4597   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699   / cqs 8701  Fincfn 8938   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ™ฏchash 14292   โˆฅ cdvds 16201  Basecbs 17150  SubGrpcsubg 19044   ~QG cqg 19046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-dvds 16202  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-eqg 19049
This theorem is referenced by:  oddvds2  19483  fislw  19542  sylow3lem4  19547  ablfacrp2  19986  ablfac1c  19990  ablfac1eu  19992  prmgrpsimpgd  20033
  Copyright terms: Public domain W3C validator