Theorem lagsubg 19185

Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg	⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem lagsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2		pwfi 9352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3	1, 2	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4		lagsubg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) = (𝐺 ~QG 𝑌)
6	4, 5	eqger 19168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
7	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
8	7	qsss 8799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ⊆ 𝒫 𝑋)
9	3, 8	ssfid 9294	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin)
10		hashcl 14368	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12630	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
14	4	subgss 19117	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15		ssfi 9204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
16	13, 14, 15	syl2anr 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
17		hashcl 14368	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12630	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℤ)
20		dvdsmul2 16276	. . 3 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℤ) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
21	12, 19, 20	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
22		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	4, 5, 22, 1	lagsubg2 19184	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
24	21, 23	breqtrrd 5173	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   Er wer 8723   / cqs 8725  Fincfn 8966   · cmul 11154  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ♯chash 14342   ∥ cdvds 16251  Basecbs 17208  SubGrpcsubg 19110   ~_QG cqg 19112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-dvds 16252  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-subg 19113  df-eqg 19115

This theorem is referenced by:  oddvds2  19560  fislw  19619  sylow3lem4  19624  ablfacrp2  20063  ablfac1c  20067  ablfac1eu  20069  prmgrpsimpgd  20110