Theorem lagsubg 18044

Description: Lagrange's theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg	⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem lagsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2		pwfi 8551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3	1, 2	sylib 210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4		lagsubg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) = (𝐺 ~QG 𝑌)
6	4, 5	eqger 18032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
7	6	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐺 ~QG 𝑌) Er 𝑋)
8	7	qsss 8093	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ⊆ 𝒫 𝑋)
9	3, 8	ssfid 8473	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin)
10		hashcl 13466	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 11836	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ)
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
14	4	subgss 17983	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15		ssfi 8470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
16	13, 14, 15	syl2anr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
17		hashcl 13466	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 11836	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∈ ℤ)
20		dvdsmul2 15415	. . 3 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℤ) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
21	12, 19, 20	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
22		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	4, 5, 22, 1	lagsubg2 18043	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) · (♯‘𝑌)))
24	21, 23	breqtrrd 4916	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) ∥ (♯‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   Er wer 8025   / cqs 8027  Fincfn 8243   · cmul 10279  ℕ₀cn0 11646  ℤcz 11732  ♯chash 13439   ∥ cdvds 15391  Basecbs 16259  SubGrpcsubg 17976   ~_QG cqg 17978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-dvds 15392  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-subg 17979  df-eqg 17981

This theorem is referenced by:  oddvds2  18371  fislw  18428  sylow3lem4  18433  ablfacrp2  18857  ablfac1c  18861  ablfac1eu  18863