Theorem ex-chn1 18693

Description: Example: a doubleton of twos is a valid chain under the identity relation and domain of integers. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn1	⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Proof of Theorem ex-chn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12626	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		s2cl 14915	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ)
3	1, 1, 2	mp2an 704	. 2 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ
4		s2dm 14927	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“22”⟩ = {0, 1}
5	4	difeq1i 4085	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1} ∖ {0})
6	5	eleq2i 2861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
7	6	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
8		difprsnss 4771	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
9	8	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1})
10	9	elsnd 4612	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 = 1)
11		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ 2 = 2
12		2ex 12318	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
13	12	ideq 5839	. . . . . . 7 ⊢ (2 I 2 ↔ 2 = 2)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 2 I 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 I 2)
16		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
17		1m1e0 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
19		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“22”⟩‘0))
20		s2fv0 14924	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘0) = 2)
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“22”⟩‘0) = 2
22	19, 21	eqtr2di 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
24		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘𝑥) = (⟨“22”⟩‘1))
25		s2fv1 14925	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘1) = 2)
26	12, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“22”⟩‘1) = 2
27	24, 26	eqtr2di 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘𝑥))
28	15, 23, 27	3brtr3d 5146	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
29	7, 10, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
30	29	rgen 3087	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)
31		ischn 18663	. 2 ⊢ (⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ) ↔ (⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)))
32	3, 30, 31	mpbir2an 723	1 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  {csn 4594  {cpr 4596   class class class wbr 5113   I cid 5556  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   − cmin 11441  2c2 12295  ℤcz 12591  Word cword 14550  ⟨“cs2 14878   Chain cchn 18661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-chn 18662

This theorem is referenced by: (None)