Theorem ex-chn1 18683

Description: Example: a doubleton of twos is a valid chain under the identity relation and domain of integers. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn1	⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Proof of Theorem ex-chn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12617	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		s2cl 14905	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ)
3	1, 1, 2	mp2an 704	. 2 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ
4		s2dm 14917	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“22”⟩ = {0, 1}
5	4	difeq1i 4079	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1} ∖ {0})
6	5	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
7	6	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
8		difprsnss 4762	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
9	8	sseli 3935	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1})
10	9	elsnd 4603	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 = 1)
11		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ 2 = 2
12		2ex 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
13	12	ideq 5829	. . . . . . 7 ⊢ (2 I 2 ↔ 2 = 2)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 2 I 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 I 2)
16		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
17		1m1e0 12304	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
19		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“22”⟩‘0))
20		s2fv0 14914	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘0) = 2)
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“22”⟩‘0) = 2
22	19, 21	eqtr2di 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
24		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘𝑥) = (⟨“22”⟩‘1))
25		s2fv1 14915	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘1) = 2)
26	12, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“22”⟩‘1) = 2
27	24, 26	eqtr2di 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘𝑥))
28	15, 23, 27	3brtr3d 5136	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
29	7, 10, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
30	29	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)
31		ischn 18653	. 2 ⊢ (⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ) ↔ (⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)))
32	3, 30, 31	mpbir2an 723	1 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5105   I cid 5546  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   − cmin 11429  2c2 12286  ℤcz 12582  Word cword 14540  ⟨“cs2 14868   Chain cchn 18651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-chn 18652

This theorem is referenced by: (None)