Theorem ex-chn1 18699

Description: Example: a doubleton of twos is a valid chain under the identity relation and domain of integers. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn1	⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Proof of Theorem ex-chn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12632	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		s2cl 14922	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ)
3	1, 1, 2	mp2an 704	. 2 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ
4		s2dm 14934	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“22”⟩ = {0, 1}
5	4	difeq1i 4076	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1} ∖ {0})
6	5	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
7	6	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
8		difprsnss 4766	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
9	8	sseli 3932	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1})
10	9	elsnd 4606	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 = 1)
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ 2 = 2
12		2ex 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
13	12	ideq 5837	. . . . . . 7 ⊢ (2 I 2 ↔ 2 = 2)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 2 I 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 I 2)
16		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
17		1m1e0 12319	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
19		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“22”⟩‘0))
20		s2fv0 14931	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘0) = 2)
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“22”⟩‘0) = 2
22	19, 21	eqtr2di 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
24		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘𝑥) = (⟨“22”⟩‘1))
25		s2fv1 14932	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘1) = 2)
26	12, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“22”⟩‘1) = 2
27	24, 26	eqtr2di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘𝑥))
28	15, 23, 27	3brtr3d 5141	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
29	7, 10, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
30	29	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)
31		ischn 18669	. 2 ⊢ (⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ) ↔ (⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)))
32	3, 30, 31	mpbir2an 723	1 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108   I cid 5554  dom cdm 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11447  2c2 12301  ℤcz 12597  Word cword 14557  ⟨“cs2 14885   Chain cchn 18667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-chn 18668

This theorem is used by: (None)