Theorem ex-chn1 18549

Description: Example: a doubleton of twos is a valid chain under the identity relation and domain of integers. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn1	⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Proof of Theorem ex-chn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12510	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		s2cl 14791	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ)
3	1, 1, 2	mp2an 692	. 2 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ
4		s2dm 14803	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“22”⟩ = {0, 1}
5	4	difeq1i 4071	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1} ∖ {0})
6	5	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
7	6	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
8		difprsnss 4750	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
9	8	sseli 3925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1})
10	9	elsnd 4593	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 = 1)
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ 2 = 2
12		2ex 12208	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
13	12	ideq 5797	. . . . . . 7 ⊢ (2 I 2 ↔ 2 = 2)
14	11, 13	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 2 I 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 I 2)
16		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
17		1m1e0 12203	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
19		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“22”⟩‘0))
20		s2fv0 14800	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘0) = 2)
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“22”⟩‘0) = 2
22	19, 21	eqtr2di 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
23	18, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
24		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘𝑥) = (⟨“22”⟩‘1))
25		s2fv1 14801	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘1) = 2)
26	12, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“22”⟩‘1) = 2
27	24, 26	eqtr2di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘𝑥))
28	15, 23, 27	3brtr3d 5124	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
29	7, 10, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
30	29	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)
31		ischn 18519	. 2 ⊢ (⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ) ↔ (⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)))
32	3, 30, 31	mpbir2an 711	1 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  {csn 4575  {cpr 4577   class class class wbr 5093   I cid 5513  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012  1c1 11013   − cmin 11350  2c2 12186  ℤcz 12474  Word cword 14426  ⟨“cs2 14754   Chain cchn 18517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-concat 14484  df-s1 14510  df-s2 14761  df-chn 18518

This theorem is referenced by: (None)