Theorem ex-chn1 18812

Description: Example: a doubleton of twos is a valid chain under the identity relation and domain of integers. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn1	⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

Proof of Theorem ex-chn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12729	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		s2cl 15030	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ)
3	1, 1, 2	mp2an 705	. 2 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ
4		s2dm 15042	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“22”⟩ = {0, 1}
5	4	difeq1i 4059	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1} ∖ {0})
6	5	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
7	6	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}))
8		difprsnss 4761	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
9	8	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1})
10	9	elsnd 4601	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({0, 1} ∖ {0}) → 𝑥 = 1)
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ 2 = 2
12		2ex 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
13	12	ideq 5829	. . . . . . 7 ⊢ (2 I 2 ↔ 2 = 2)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 2 I 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 I 2)
16		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
17		1m1e0 12416	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
19		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“22”⟩‘0))
20		s2fv0 15039	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘0) = 2)
21	12, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“22”⟩‘0) = 2
22	19, 21	eqtr2di 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 − 1) = 0 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
23	18, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)))
24		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘𝑥) = (⟨“22”⟩‘1))
25		s2fv1 15040	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V → (⟨“22”⟩‘1) = 2)
26	12, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“22”⟩‘1) = 2
27	24, 26	eqtr2di 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 2 = (⟨“22”⟩‘𝑥))
28	15, 23, 27	3brtr3d 5135	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
29	7, 10, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0}) → (⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥))
30	29	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)
31		ischn 18782	. 2 ⊢ (⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ) ↔ (⟨“22”⟩ ∈ Word ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“22”⟩ ∖ {0})(⟨“22”⟩‘(𝑥 − 1)) I (⟨“22”⟩‘𝑥)))
32	3, 30, 31	mpbir2an 724	1 ⊢ ⟨“22”⟩ ∈ ( I Chain ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102   I cid 5544  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  1c1 11202   − cmin 11542  2c2 12398  ℤcz 12694  Word cword 14659  ⟨“cs2 14993   Chain cchn 18780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-chn 18781

This theorem is used by: (None)