Theorem ex-chn2 18841

Description: Example: sequence <" ZZ NN QQ "> is a valid chain under the equinumerosity relation in universal domain. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn2	⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Proof of Theorem ex-chn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cli 15060	. 2 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V
2		zex 12729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
3		nnex 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
4		qex 13115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ V
5		s3fn 15091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2})
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2}
7	6	fndmi 6665	. . . . . . . 8 ⊢ dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ = {0, 1, 2}
8	7	difeq1i 4062	. . . . . . 7 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1, 2} ∖ {0})
9		tprot 4710	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1, 2} = {1, 2, 0}
10	9	difeq1i 4062	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1, 2} ∖ {0}) = ({1, 2, 0} ∖ {0})
11		ax-1ne0 11296	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12		2ne0 12476	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		diftpsn3 4765	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 0) → ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2})
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2}
15	8, 10, 14	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = {1, 2}
16	15	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ {1, 2})
17	16	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1, 2})
18		elpri 4608	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 2} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2))
19		znnen 16409	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ℤ ≈ ℕ)
21		oveq1 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0))
25		s3fv0 15071	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ)
26	2, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ
27	24, 26	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℤ)
28		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
29		s3fv1 15072	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ
31	28, 30	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℕ)
32	20, 27, 31	3brtr4d 5140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
33		qnnen 16410	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≈ ℕ
34	33	ensymi 9059	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ℚ
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → ℕ ≈ ℚ)
36		oveq1 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = (2 − 1))
37		2m1e1 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = 1)
39	38	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
40	39, 30	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℕ)
41		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2))
42		s3fv2 15073	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ
44	41, 43	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℚ)
45	35, 40, 44	3brtr4d 5140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
46	32, 45	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
47	17, 18, 46	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
48	47	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)
49		ischn 18810	. 2 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V) ↔ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)))
50	1, 48, 49	mpbir2an 724	1 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ≈ cen 8998  0cc0 11227  1c1 11228   − cmin 11568  ℕcn 12362  2c2 12424  ℤcz 12720  ℚcq 13102  Word cword 14685  ⟨“cs3 15021   Chain cchn 18808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-chn 18809

This theorem is used by: (None)