Theorem ex-chn2 18730

Description: Example: sequence <" ZZ NN QQ "> is a valid chain under the equinumerosity relation in universal domain. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn2	⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Proof of Theorem ex-chn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cli 14954	. 2 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V
2		zex 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
3		nnex 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
4		qex 13013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ V
5		s3fn 14984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2})
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2}
7	6	fndmi 6640	. . . . . . . 8 ⊢ dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ = {0, 1, 2}
8	7	difeq1i 4073	. . . . . . 7 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1, 2} ∖ {0})
9		tprot 4713	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1, 2} = {1, 2, 0}
10	9	difeq1i 4073	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1, 2} ∖ {0}) = ({1, 2, 0} ∖ {0})
11		ax-1ne0 11196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12		2ne0 12374	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		diftpsn3 4768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 0) → ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2})
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2}
15	8, 10, 14	3eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = {1, 2}
16	15	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ {1, 2})
17	16	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1, 2})
18		elpri 4611	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 2} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2))
19		znnen 16304	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ℤ ≈ ℕ)
21		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0))
25		s3fv0 14964	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ)
26	2, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ
27	24, 26	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℤ)
28		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
29		s3fv1 14965	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ
31	28, 30	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℕ)
32	20, 27, 31	3brtr4d 5141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
33		qnnen 16305	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≈ ℕ
34	33	ensymi 9013	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ℚ
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → ℕ ≈ ℚ)
36		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = (2 − 1))
37		2m1e1 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = 1)
39	38	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
40	39, 30	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℕ)
41		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2))
42		s3fv2 14966	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ
44	41, 43	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℚ)
45	35, 40, 44	3brtr4d 5141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
46	32, 45	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
47	17, 18, 46	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
48	47	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)
49		ischn 18699	. 2 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V) ↔ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)))
50	1, 48, 49	mpbir2an 724	1 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ≈ cen 8952  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤcz 12618  ℚcq 13000  Word cword 14580  ⟨“cs3 14915   Chain cchn 18697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-chn 18698

This theorem is used by: (None)