Theorem ex-chn2 18550

Description: Example: sequence <" ZZ NN QQ "> is a valid chain under the equinumerosity relation in universal domain. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn2	⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Proof of Theorem ex-chn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cli 14794	. 2 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V
2		zex 12483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
3		nnex 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
4		qex 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ V
5		s3fn 14824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2})
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2}
7	6	fndmi 6591	. . . . . . . 8 ⊢ dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ = {0, 1, 2}
8	7	difeq1i 4071	. . . . . . 7 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1, 2} ∖ {0})
9		tprot 4701	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1, 2} = {1, 2, 0}
10	9	difeq1i 4071	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1, 2} ∖ {0}) = ({1, 2, 0} ∖ {0})
11		ax-1ne0 11081	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12		2ne0 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		diftpsn3 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 0) → ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2})
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2}
15	8, 10, 14	3eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = {1, 2}
16	15	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ {1, 2})
17	16	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1, 2})
18		elpri 4599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 2} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2))
19		znnen 16127	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ℤ ≈ ℕ)
21		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0))
25		s3fv0 14804	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ)
26	2, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ
27	24, 26	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℤ)
28		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
29		s3fv1 14805	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ
31	28, 30	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℕ)
32	20, 27, 31	3brtr4d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
33		qnnen 16128	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≈ ℕ
34	33	ensymi 8932	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ℚ
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → ℕ ≈ ℚ)
36		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = (2 − 1))
37		2m1e1 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = 1)
39	38	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
40	39, 30	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℕ)
41		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2))
42		s3fv2 14806	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ
44	41, 43	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℚ)
45	35, 40, 44	3brtr4d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
46	32, 45	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
47	17, 18, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
48	47	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)
49		ischn 18519	. 2 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V) ↔ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)))
50	1, 48, 49	mpbir2an 711	1 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  {csn 4575  {cpr 4577  {ctp 4579   class class class wbr 5093  dom cdm 5619   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ≈ cen 8872  0cc0 11012  1c1 11013   − cmin 11350  ℕcn 12131  2c2 12186  ℤcz 12474  ℚcq 12852  Word cword 14426  ⟨“cs3 14755   Chain cchn 18517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-oi 9402  df-card 9838  df-acn 9841  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-concat 14484  df-s1 14510  df-s2 14761  df-s3 14762  df-chn 18518

This theorem is referenced by: (None)