Theorem ex-chn2 18774

Description: Example: sequence <" ZZ NN QQ "> is a valid chain under the equinumerosity relation in universal domain. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn2	⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Proof of Theorem ex-chn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cli 15000	. 2 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V
2		zex 12672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
3		nnex 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
4		qex 13058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ V
5		s3fn 15030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2})
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2}
7	6	fndmi 6631	. . . . . . . 8 ⊢ dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ = {0, 1, 2}
8	7	difeq1i 4069	. . . . . . 7 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1, 2} ∖ {0})
9		tprot 4709	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1, 2} = {1, 2, 0}
10	9	difeq1i 4069	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1, 2} ∖ {0}) = ({1, 2, 0} ∖ {0})
11		ax-1ne0 11241	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12		2ne0 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		diftpsn3 4764	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 0) → ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2})
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2}
15	8, 10, 14	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = {1, 2}
16	15	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ {1, 2})
17	16	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1, 2})
18		elpri 4607	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 2} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2))
19		znnen 16348	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ℤ ≈ ℕ)
21		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0))
25		s3fv0 15010	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ)
26	2, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ
27	24, 26	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℤ)
28		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
29		s3fv1 15011	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ
31	28, 30	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℕ)
32	20, 27, 31	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
33		qnnen 16349	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≈ ℕ
34	33	ensymi 9009	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ℚ
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → ℕ ≈ ℚ)
36		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = (2 − 1))
37		2m1e1 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = 1)
39	38	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
40	39, 30	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℕ)
41		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2))
42		s3fv2 15012	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ
44	41, 43	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℚ)
45	35, 40, 44	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
46	32, 45	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
47	17, 18, 46	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
48	47	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)
49		ischn 18743	. 2 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V) ↔ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)))
50	1, 48, 49	mpbir2an 724	1 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585  {ctp 4587   class class class wbr 5102  dom cdm 5647   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ≈ cen 8948  0cc0 11172  1c1 11173   − cmin 11513  ℕcn 12305  2c2 12367  ℤcz 12663  ℚcq 13045  Word cword 14626  ⟨“cs3 14961   Chain cchn 18741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-oi 9482  df-card 9992  df-acn 9995  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-q 13046  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-chn 18742

This theorem is used by: (None)