Theorem ex-chn2 18562

Description: Example: sequence <" ZZ NN QQ "> is a valid chain under the equinumerosity relation in universal domain. (Contributed by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ex-chn2	⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Proof of Theorem ex-chn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cli 14805	. 2 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V
2		zex 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
3		nnex 12152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
4		qex 12875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ ∈ V
5		s3fn 14835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2})
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ Fn {0, 1, 2}
7	6	fndmi 6594	. . . . . . . 8 ⊢ dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ = {0, 1, 2}
8	7	difeq1i 4063	. . . . . . 7 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = ({0, 1, 2} ∖ {0})
9		tprot 4694	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1, 2} = {1, 2, 0}
10	9	difeq1i 4063	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1, 2} ∖ {0}) = ({1, 2, 0} ∖ {0})
11		ax-1ne0 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12		2ne0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		diftpsn3 4746	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 0) → ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2})
14	11, 12, 13	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 2, 0} ∖ {0}) = {1, 2}
15	8, 10, 14	3eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) = {1, 2}
16	15	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ {1, 2})
17	16	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ {1, 2})
18		elpri 4592	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 2} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2))
19		znnen 16138	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ℤ ≈ ℕ)
21		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0))
25		s3fv0 14815	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ)
26	2, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘0) = ℤ
27	24, 26	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℤ)
28		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
29		s3fv1 14816	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1) = ℕ
31	28, 30	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℕ)
32	20, 27, 31	3brtr4d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
33		qnnen 16139	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≈ ℕ
34	33	ensymi 8942	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ℚ
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → ℕ ≈ ℚ)
36		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = (2 − 1))
37		2m1e1 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 − 1) = 1)
39	38	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘1))
40	39, 30	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) = ℕ)
41		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2))
42		s3fv2 14817	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘2) = ℚ
44	41, 43	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥) = ℚ)
45	35, 40, 44	3brtr4d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
46	32, 45	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
47	17, 18, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0}) → (⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥))
48	47	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)
49		ischn 18531	. 2 ⊢ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V) ↔ (⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ Word V ∧ ∀𝑥 ∈ (dom ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∖ {0})(⟨“ℤℕℚ”⟩‘(𝑥 − 1)) ≈ (⟨“ℤℕℚ”⟩‘𝑥)))
50	1, 48, 49	mpbir2an 712	1 ⊢ ⟨“ℤℕℚ”⟩ ∈ ( ≈ Chain V)

Syntax hints:   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  {ctp 4572   class class class wbr 5086  dom cdm 5622   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ≈ cen 8881  0cc0 11027  1c1 11028   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489  ℚcq 12862  Word cword 14437  ⟨“cs3 14766   Chain cchn 18529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-hash 14255  df-word 14438  df-concat 14495  df-s1 14521  df-s2 14772  df-s3 14773  df-chn 18530

This theorem is referenced by: (None)