Theorem expgt0b 32907

Description: A real number 𝐴 raised to an odd integer power is positive iff it is positive. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.) Use the more standard ¬ 2 ∥ 𝑁 (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgt0b.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expgt0b.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expgt0b.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expgt0b	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expgt0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt0b.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		expgt0b.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7		expgt0 14030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴↑𝑁)))
10		0red 11147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11	10, 1	lttrid 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
12	11	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
13		notnotr 130	. . . 4 ⊢ (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
14		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	ltnri 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 < 0
16	3	0expd 14074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
17	16	breq2d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 < (0↑𝑁) ↔ 0 < 0))
18	15, 17	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑁))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (0↑𝑁))
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23	22	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ 0 < (0↑𝑁)))
24	19, 23	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
26	1	renegcld 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
28	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < -𝐴)
30		expgt0 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
32	31	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → 0 < (-𝐴↑𝑁)))
33	1	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expgt0b.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
35		oexpneg 16284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
36	33, 3, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) ↔ 0 < -(𝐴↑𝑁)))
38	37	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) → 0 < -(𝐴↑𝑁)))
39	3	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	1, 39	reexpcld 14098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
42	10, 41	lttrid 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0)))
43		pm2.46 883	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0)
44	42, 43	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
45	32, 38, 44	3syld 60	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
46	1	lt0neg1d 11718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
47	40	lt0neg2d 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ -(𝐴↑𝑁) < 0))
48	47	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
49	45, 46, 48	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
50	25, 49	jaod 860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
51	13, 50	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
52	12, 51	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
53	9, 52	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  2sqr3minply  33957