Theorem expgt0b 32800

Description: A real number 𝐴 raised to an odd integer power is positive iff it is positive. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.) Use the more standard ¬ 2 ∥ 𝑁 (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgt0b.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expgt0b.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expgt0b.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expgt0b	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expgt0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt0b.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		expgt0b.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7		expgt0 14118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴↑𝑁)))
10		0red 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11	10, 1	lttrid 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
12	11	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
13		notnotr 130	. . . 4 ⊢ (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
14		0re 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	ltnri 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 < 0
16	3	0expd 14162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
17	16	breq2d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 < (0↑𝑁) ↔ 0 < 0))
18	15, 17	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑁))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (0↑𝑁))
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23	22	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ 0 < (0↑𝑁)))
24	19, 23	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
26	1	renegcld 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
28	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < -𝐴)
30		expgt0 14118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
32	31	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → 0 < (-𝐴↑𝑁)))
33	1	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expgt0b.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
35		oexpneg 16369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
36	33, 3, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) ↔ 0 < -(𝐴↑𝑁)))
38	37	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) → 0 < -(𝐴↑𝑁)))
39	3	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	1, 39	reexpcld 14186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
42	10, 41	lttrid 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0)))
43		pm2.46 882	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0)
44	42, 43	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
45	32, 38, 44	3syld 60	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
46	1	lt0neg1d 11811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
47	40	lt0neg2d 11812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ -(𝐴↑𝑁) < 0))
48	47	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
49	45, 46, 48	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
50	25, 49	jaod 859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
51	13, 50	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
52	12, 51	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
53	9, 52	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274  -cneg 11472  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  2sqr3minply  33819