Theorem expgt0b 32820

Description: A real number 𝐴 raised to an odd integer power is positive iff it is positive. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.) Use the more standard ¬ 2 ∥ 𝑁 (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgt0b.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expgt0b.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expgt0b.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expgt0b	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expgt0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt0b.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		expgt0b.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7		expgt0 14146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴↑𝑁)))
10		0red 11293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11	10, 1	lttrid 11428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
12	11	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
13		notnotr 130	. . . 4 ⊢ (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
14		0re 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	ltnri 11399	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 < 0
16	3	0expd 14189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
17	16	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 < (0↑𝑁) ↔ 0 < 0))
18	15, 17	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑁))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (0↑𝑁))
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23	22	breq2d 5178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ 0 < (0↑𝑁)))
24	19, 23	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
26	1	renegcld 11717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
28	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < -𝐴)
30		expgt0 14146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
32	31	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → 0 < (-𝐴↑𝑁)))
33	1	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expgt0b.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
35		oexpneg 16393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
36	33, 3, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) ↔ 0 < -(𝐴↑𝑁)))
38	37	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) → 0 < -(𝐴↑𝑁)))
39	3	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	1, 39	reexpcld 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
42	10, 41	lttrid 11428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0)))
43		pm2.46 881	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0)
44	42, 43	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
45	32, 38, 44	3syld 60	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
46	1	lt0neg1d 11859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
47	40	lt0neg2d 11860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ -(𝐴↑𝑁) < 0))
48	47	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
49	45, 46, 48	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
50	25, 49	jaod 858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
51	13, 50	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
52	12, 51	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
53	9, 52	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  -cneg 11521  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  2sqr3minply  33738