Theorem expgt0b 33172

Description: A real number 𝐴 raised to an odd integer power is positive iff it is positive. (Contributed by SN, 4-Mar-2023.) Use the more standard ¬ 2 ∥ 𝑁 (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgt0b.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expgt0b.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expgt0b.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expgt0b	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expgt0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt0b.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		expgt0b.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7		expgt0 14138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑𝑁))
9	8	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴↑𝑁)))
10		0red 11217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11	10, 1	lttrid 11354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
12	11	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 ↔ ¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
13		notnotr 131	. . . 4 ⊢ (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
14		0re 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	ltnri 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 < 0
16	3	0expd 14182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
17	16	breq2d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 < (0↑𝑁) ↔ 0 < 0))
18	15, 17	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (0↑𝑁))
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (0↑𝑁))
20		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23	22	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ 0 < (0↑𝑁)))
24	19, 23	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁))
25	24	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
26	1	renegcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
28	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < -𝐴)
30		expgt0 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐴) → 0 < (-𝐴↑𝑁))
32	31	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → 0 < (-𝐴↑𝑁)))
33	1	recnd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expgt0b.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
35		oexpneg 16409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
36	33, 3, 34, 35	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) ↔ 0 < -(𝐴↑𝑁)))
38	37	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (-𝐴↑𝑁) → 0 < -(𝐴↑𝑁)))
39	3	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	1, 39	reexpcld 14206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
42	10, 41	lttrid 11354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0)))
43		pm2.46 895	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (0 = -(𝐴↑𝑁) ∨ -(𝐴↑𝑁) < 0) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0)
44	42, 43	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < -(𝐴↑𝑁) → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
45	32, 38, 44	3syld 61	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐴 → ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
46	1	lt0neg1d 11789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
47	40	lt0neg2d 11790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴↑𝑁) ↔ -(𝐴↑𝑁) < 0))
48	47	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ -(𝐴↑𝑁) < 0))
49	45, 46, 48	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
50	25, 49	jaod 872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
51	13, 50	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
52	12, 51	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ 0 < (𝐴↑𝑁)))
53	9, 52	impcon4bid 230	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249  -cneg 11448  ℕcn 12239  2c2 12301  ℤcz 12597  ↑cexp 14104   ∥ cdvds 16316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-dvds 16317

This theorem is used by:  2sqr3minply  34179