Theorem modfsummod 15827

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2		modfsummod.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		modfsummod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		raleq 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
5	4	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
7	6	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
9	8	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
10	7, 9	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	5, 10	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12		raleq 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
13	12	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
15	14	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
17	16	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
18	15, 17	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
19	13, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20		raleq 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
21	20	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
23	22	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
25	24	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
26	23, 25	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
27	21, 26	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28		raleq 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
29	28	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32		sumeq1 15722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
33	32	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
34	31, 33	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
35	29, 34	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36		sum0 15754	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
37	36	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38		sum0 15754	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	37, 40	eqtr4id 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45		ralun 4208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
47	46	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49		modfsummods 15826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
50	43, 44, 48, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
51	50	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
52	51	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
54	53	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55		ralunb 4207	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
56	55	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
57	56	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58		an32 646	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
59	58	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
61	57, 59, 60	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
62	54, 61	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
63	11, 19, 27, 35, 42, 62	findcard2 9203	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
64	3, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
65	1, 2, 64	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∪ cun 3961  ∅c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℤcz 12611   mod cmo 13906  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30419