MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modfsummod 15671
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
modfsummod (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2 modfsummod.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 modfsummod.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 raleq 3307 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
54anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
76oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
98oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
107, 9eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
115, 10imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12 raleq 3307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
1312anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1514oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
1716oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
1815, 17eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1913, 18imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20 raleq 3307 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
2120anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
2322oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
2524oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
2623, 25eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
2721, 26imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28 raleq 3307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
2928anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3130oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
3332oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3431, 33eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3529, 34imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36 sum0 15598 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3736oveq1i 7363 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38 sum0 15598 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
4039oveq1d 7368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
4137, 40eqtr4id 2795 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4241adantl 482 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45 ralun 4150 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
4645ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4746ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4847imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49 modfsummods 15670 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5043, 44, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5150ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5352ex 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55 ralunb 4149 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5655anbi1i 624 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5756imbi1i 349 . . . . . 6 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58 an32 644 . . . . . . 7 (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5958imbi1i 349 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60 impexp 451 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6157, 59, 603bitri 296 . . . . 5 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6254, 61syl6ibr 251 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 9104 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
643, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
651, 2, 64mp2and 697 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cun 3906  c0 4280  {csn 4584  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11047  cn 12149  cz 12495   mod cmo 13766  Σcsu 15562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  29220
  Copyright terms: Public domain W3C validator