MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modfsummod 15770
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
modfsummod (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2 modfsummod.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 modfsummod.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
54anbi1d 629 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
76oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
98oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
107, 9eqeq12d 2741 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
115, 10imbi12d 343 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
1312anbi1d 629 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1514oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
1716oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
1815, 17eqeq12d 2741 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1913, 18imbi12d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
2120anbi1d 629 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
2322oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
2524oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
2623, 25eqeq12d 2741 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
2721, 26imbi12d 343 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
2928anbi1d 629 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3130oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32 sumeq1 15665 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
3332oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3431, 33eqeq12d 2741 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3529, 34imbi12d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36 sum0 15697 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3736oveq1i 7425 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38 sum0 15697 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
4039oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
4137, 40eqtr4id 2784 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4241adantl 480 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45 ralun 4186 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
4645ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4746ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4847imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49 modfsummods 15769 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5043, 44, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5150ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5352ex 411 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55 ralunb 4185 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5655anbi1i 622 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5756imbi1i 348 . . . . . 6 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58 an32 644 . . . . . . 7 (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5958imbi1i 348 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60 impexp 449 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6157, 59, 603bitri 296 . . . . 5 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6254, 61imbitrrdi 251 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 9185 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
643, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
651, 2, 64mp2and 697 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  cun 3938  c0 4318  {csn 4624  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  0cc0 11136  cn 12240  cz 12586   mod cmo 13864  Σcsu 15662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30242
  Copyright terms: Public domain W3C validator