MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modfsummod 15736
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
modfsummod (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2 modfsummod.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 modfsummod.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 raleq 3322 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
54anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
76oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
98oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
107, 9eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
115, 10imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12 raleq 3322 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
1312anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1514oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
1716oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
1815, 17eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1913, 18imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20 raleq 3322 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
2120anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
2322oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
2524oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
2623, 25eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
2721, 26imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28 raleq 3322 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
2928anbi1d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3130oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32 sumeq1 15631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
3332oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
3431, 33eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
3529, 34imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36 sum0 15663 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3736oveq1i 7415 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38 sum0 15663 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
4039oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
4137, 40eqtr4id 2791 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4241adantl 482 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45 ralun 4191 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
4645ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4746ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
4847imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49 modfsummods 15735 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5043, 44, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5150ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
5352ex 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
5453a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55 ralunb 4190 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5655anbi1i 624 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5756imbi1i 349 . . . . . 6 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58 an32 644 . . . . . . 7 (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
5958imbi1i 349 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60 impexp 451 . . . . . 6 ((((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6157, 59, 603bitri 296 . . . . 5 (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6254, 61syl6ibr 251 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 9160 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
643, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
651, 2, 64mp2and 697 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cun 3945  c0 4321  {csn 4627  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  0cc0 11106  cn 12208  cz 12554   mod cmo 13830  Σcsu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  29632
  Copyright terms: Public domain W3C validator