Theorem modfsummod 15718

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummod.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummod.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2		modfsummod.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		modfsummod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		raleq 3293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ))
5	4	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
6		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
7	6	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁))
8		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁))
9	8	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
10	7, 9	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	5, 10	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
12		raleq 3293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ))
13	12	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
14		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
15	14	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁))
16		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁))
17	16	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
18	15, 17	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
19	13, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
20		raleq 3293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
21	20	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
22		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
23	22	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
24		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
25	24	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
26	23, 25	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
27	21, 26	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
28		raleq 3293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ))
29	28	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
30		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁))
32		sumeq1 15613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁))
33	32	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
34	31, 33	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
35	29, 34	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
36		sum0 15645	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
37	36	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)
38		sum0 15645	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	37, 40	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
43		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ Fin)
44		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
45		ralun 4139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
47	46	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
49		modfsummods 15717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
50	43, 44, 48, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
51	50	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
52	51	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
54	53	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))))
55		ralunb 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
56	55	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
57	56	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
58		an32 647	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
59	58	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
60		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
61	57, 59, 60	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) ↔ ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
62	54, 61	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
63	11, 19, 27, 35, 42, 62	findcard2 9090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
64	3, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
65	1, 2, 64	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  {csn 4568  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11027  ℕcn 12146  ℤcz 12489   mod cmo 13790  Σcsu 15610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30449