Theorem flmrecm1 47785

Description: The floor of an integer minus the reciprocal of a positive integer is the integer minus 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flmrecm1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem flmrecm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
4		1cnd 11139	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5		nnrecre 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
13	12	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) + 1) − (1 / 𝑁)))
14	3, 4, 7, 13	assraddsubd 11564	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = ((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁))))
15	14	fveq2d 6845	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))))
16		1red 11145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
17	16, 5	resubcld 11578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
18		flzadd 13785	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
19	1, 17, 18	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
20		nnge1 12205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
21		nnrp 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		divle1le 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	16, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
24	20, 23	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ≤ 1)
25	16, 5	subge0d 11740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ↔ (1 / 𝑁) ≤ 1))
26	24, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)))
27		nnrecgt0 12220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑁))
28	5, 16	ltsubposd 11736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (1 − (1 / 𝑁)) < 1))
29	27, 28	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) < 1)
30		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		1xr 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	30, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
33		elico2 13363	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
35	17, 26, 29, 34	mpbir3and 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1))
36		ico01fl0 13778	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
39	38	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + 0))
40	3	addridd 11346	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 0) = (𝑀 − 1))
41	39, 40	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = (𝑀 − 1))
42	15, 19, 41	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  [,)cico 13300  ⌊cfl 13749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fl 13751

This theorem is referenced by:  ppivalnnprm  48082