Theorem flmrecm1 48335

Description: The floor of an integer minus the reciprocal of a positive integer is the integer minus 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flmrecm1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem flmrecm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12709	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12774	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
4		1cnd 11274	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5		nnrecre 12350	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11309	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8		zcn 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	9	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
13	12	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) + 1) − (1 / 𝑁)))
14	3, 4, 7, 13	assraddsubd 11700	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = ((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁))))
15	14	fveq2d 6877	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))))
16		1red 11281	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
17	16, 5	resubcld 11714	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
18		flzadd 13935	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
19	1, 17, 18	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
20		nnge1 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
21		nnrp 13102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		divle1le 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	16, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
24	20, 23	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ≤ 1)
25	16, 5	subge0d 11876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ↔ (1 / 𝑁) ≤ 1))
26	24, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)))
27		nnrecgt0 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑁))
28	5, 16	ltsubposd 11872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (1 − (1 / 𝑁)) < 1))
29	27, 28	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) < 1)
30		0re 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		1xr 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
33		elico2 13511	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
35	17, 26, 29, 34	mpbir3and 1361	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1))
36		ico01fl0 13928	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
39	38	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + 0))
40	3	addridd 11482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 0) = (𝑀 − 1))
41	39, 40	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = (𝑀 − 1))
42	15, 19, 41	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175  ℝ^*cxr 11314   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513   / cdiv 11943  ℕcn 12305  ℤcz 12663  ℝ⁺crp 13090  [,)cico 13448  ⌊cfl 13899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-ico 13452  df-fl 13901

This theorem is used by:  ppivalnnprm  48632