Theorem flmrecm1 47935

Description: The floor of an integer minus the reciprocal of a positive integer is the integer minus 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flmrecm1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem flmrecm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12692	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
4		1cnd 11190	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5		nnrecre 12269	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11225	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8		zcn 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	9	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
13	12	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) + 1) − (1 / 𝑁)))
14	3, 4, 7, 13	assraddsubd 11616	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = ((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁))))
15	14	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))))
16		1red 11197	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
17	16, 5	resubcld 11630	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
18		flzadd 13850	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
19	1, 17, 18	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
20		nnge1 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
21		nnrp 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		divle1le 13079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	16, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
24	20, 23	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ≤ 1)
25	16, 5	subge0d 11792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ↔ (1 / 𝑁) ≤ 1))
26	24, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)))
27		nnrecgt0 12270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑁))
28	5, 16	ltsubposd 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (1 − (1 / 𝑁)) < 1))
29	27, 28	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) < 1)
30		0re 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		1xr 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	30, 31	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
33		elico2 13428	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
35	17, 26, 29, 34	mpbir3and 1359	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1))
36		ico01fl0 13843	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
38	37	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
39	38	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + 0))
40	3	addridd 11398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 0) = (𝑀 − 1))
41	39, 40	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = (𝑀 − 1))
42	15, 19, 41	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13365  ⌊cfl 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fl 13816

This theorem is referenced by:  ppivalnnprm  48232