Theorem flmrecm1 48233

Description: The floor of an integer minus the reciprocal of a positive integer is the integer minus 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flmrecm1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem flmrecm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12664	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12729	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
4		1cnd 11229	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5		nnrecre 12305	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11264	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8		zcn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	9	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
13	12	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) + 1) − (1 / 𝑁)))
14	3, 4, 7, 13	assraddsubd 11655	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = ((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁))))
15	14	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))))
16		1red 11236	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
17	16, 5	resubcld 11669	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
18		flzadd 13889	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
19	1, 17, 18	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
20		nnge1 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
21		nnrp 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		divle1le 13116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	16, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
24	20, 23	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ≤ 1)
25	16, 5	subge0d 11831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ↔ (1 / 𝑁) ≤ 1))
26	24, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)))
27		nnrecgt0 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑁))
28	5, 16	ltsubposd 11827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (1 − (1 / 𝑁)) < 1))
29	27, 28	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) < 1)
30		0re 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		1xr 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
33		elico2 13465	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
35	17, 26, 29, 34	mpbir3and 1361	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1))
36		ico01fl0 13882	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
39	38	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + 0))
40	3	addridd 11437	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 0) = (𝑀 − 1))
41	39, 40	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = (𝑀 − 1))
42	15, 19, 41	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13044  [,)cico 13402  ⌊cfl 13853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fl 13855

This theorem is used by:  ppivalnnprm  48530