Theorem flmrecm1 48618

Description: The floor of an integer minus the reciprocal of a positive integer is the integer minus 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flmrecm1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem flmrecm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12766	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12831	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
4		1cnd 11329	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5		nnrecre 12407	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11364	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	9	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
13	12	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) + 1) − (1 / 𝑁)))
14	3, 4, 7, 13	assraddsubd 11757	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 − (1 / 𝑁)) = ((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁))))
15	14	fveq2d 6912	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))))
16		1red 11336	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
17	16, 5	resubcld 11771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
18		flzadd 13993	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
19	1, 17, 18	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 − 1) + (1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))))
20		nnge1 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
21		nnrp 13159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		divle1le 13219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	16, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 𝑁))
24	20, 23	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ≤ 1)
25	16, 5	subge0d 11933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ↔ (1 / 𝑁) ≤ 1))
26	24, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)))
27		nnrecgt0 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑁))
28	5, 16	ltsubposd 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (1 − (1 / 𝑁)) < 1))
29	27, 28	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) < 1)
30		0re 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		1xr 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
33		elico2 13568	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (1 / 𝑁)) ∧ (1 − (1 / 𝑁)) < 1)))
35	17, 26, 29, 34	mpbir3and 1361	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1))
36		ico01fl0 13986	. . . . . 6 ⊢ ((1 − (1 / 𝑁)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(1 − (1 / 𝑁))) = 0)
39	38	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = ((𝑀 − 1) + 0))
40	3	addridd 11537	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 0) = (𝑀 − 1))
41	39, 40	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + (⌊‘(1 − (1 / 𝑁)))) = (𝑀 − 1))
42	15, 19, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 − (1 / 𝑁))) = (𝑀 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147  [,)cico 13505  ⌊cfl 13957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fl 13959

This theorem is used by:  ppivalnnprm  48915