Theorem ppivalnnprm 48344

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a prime number. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Proof of Theorem ppivalnnprm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 27211	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluzelz 12871	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		eluz2nn 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12702	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
9		divides 16311	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
11		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
12	11	eqcoms 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
13		zcn 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
15		eluzelcn 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
17		eluz2n0 12916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ≠ 0)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 11996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) = 𝑚)
20	12, 19	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = 𝑚)
21	6	nncnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
22		pncan1 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
24	23	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
26		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
27	26	eqcoms 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
28	25, 27	sylan9eq 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
29	28	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
31	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
32	30, 31	zmulcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℂ)
34		1cnd 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34, 16, 18	divsubdird 12029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)))
36	19	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
37	35, 36	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
39	29, 38	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
40	39	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))))
41	3	anim1ci 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
42		flmrecm1 48047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
45	40, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (𝑚 − 1))
46	20, 45	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃))) = (𝑚 − (𝑚 − 1)))
47	46	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))))
48		1cnd 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
49	13, 48	nncand 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − (𝑚 − 1)) = 1)
50	49	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = (⌊‘1))
51		1z 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		flid 13841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
53	51, 52	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
54	50, 53	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
55	54	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
56	55	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
57	47, 56	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
58	57	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
59	58	rexlimdva 3164	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
60	10, 59	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
61	60	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
62	1, 61	sylbi 220	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ⌊cfl 13823  !cfa 14309   ∥ cdvds 16309  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21502

This theorem is referenced by:  indprm  48348  indprmfz  48349