Theorem ppivalnnprm 48082

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a prime number. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Proof of Theorem ppivalnnprm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 27034	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluzelz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		eluz2nn 12838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12550	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12636	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
9		divides 16223	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
11		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
12	11	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
13		zcn 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
15		eluzelcn 12800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
17		eluz2n0 12843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) = 𝑚)
20	12, 19	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = 𝑚)
21	6	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
22		pncan1 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
24	23	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
26		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
27	26	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
28	25, 27	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
29	28	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
31	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
32	30, 31	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℂ)
34		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34, 16, 18	divsubdird 11970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)))
36	19	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
37	35, 36	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
39	29, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
40	39	fveq2d 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))))
41	3	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
42		flmrecm1 47785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
45	40, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (𝑚 − 1))
46	20, 45	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃))) = (𝑚 − (𝑚 − 1)))
47	46	fveq2d 6845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))))
48		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
49	13, 48	nncand 11510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − (𝑚 − 1)) = 1)
50	49	fveq2d 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = (⌊‘1))
51		1z 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		flid 13767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
54	50, 53	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
57	47, 56	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
59	58	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
60	10, 59	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
61	60	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
62	1, 61	sylbi 217	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ⌊cfl 13749  !cfa 14235   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  indprm  48086  indprmfz  48087