Theorem ppivalnnprm 48405

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a prime number. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Proof of Theorem ppivalnnprm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 27246	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluzelz 12878	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		eluz2nn 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12709	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
9		divides 16318	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
11		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
12	11	eqcoms 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
13		zcn 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
15		eluzelcn 12880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
17		eluz2n0 12923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ≠ 0)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) = 𝑚)
20	12, 19	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = 𝑚)
21	6	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
22		pncan1 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
24	23	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
26		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
27	26	eqcoms 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
28	25, 27	sylan9eq 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
29	28	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
31	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
32	30, 31	zmulcld 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℂ)
34		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34, 16, 18	divsubdird 12036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)))
36	19	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
37	35, 36	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
39	29, 38	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
40	39	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))))
41	3	anim1ci 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
42		flmrecm1 48108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
45	40, 44	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (𝑚 − 1))
46	20, 45	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃))) = (𝑚 − (𝑚 − 1)))
47	46	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))))
48		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
49	13, 48	nncand 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − (𝑚 − 1)) = 1)
50	49	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = (⌊‘1))
51		1z 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		flid 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
53	51, 52	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
54	50, 53	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
55	54	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
56	55	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
57	47, 56	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
58	57	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
59	58	rexlimdva 3165	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
60	10, 59	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
61	60	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
62	1, 61	sylbi 220	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ⌊cfl 13830  !cfa 14316   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-prm 16736  df-phi 16831  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-cnfld 21534

This theorem is used by:  indprm  48409  indprmfz  48410