Theorem ppivalnnprm 48104

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a prime number. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Proof of Theorem ppivalnnprm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 27059	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluzelz 12796	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		eluz2nn 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12548	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12634	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
9		divides 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
10	2, 8, 9	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
11		oveq1 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
12	11	eqcoms 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
13		zcn 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
15		eluzelcn 12798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
17		eluz2n0 12841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ≠ 0)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 11935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) = 𝑚)
20	12, 19	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = 𝑚)
21	6	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
22		pncan1 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
24	23	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
26		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
27	26	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
28	25, 27	sylan9eq 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
29	28	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃))
30		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
31	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
32	30, 31	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℂ)
34		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34, 16, 18	divsubdird 11968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)))
36	19	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
37	35, 36	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
39	29, 38	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
40	39	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))))
41	3	anim1ci 622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
42		flmrecm1 47807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
45	40, 44	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (𝑚 − 1))
46	20, 45	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃))) = (𝑚 − (𝑚 − 1)))
47	46	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))))
48		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
49	13, 48	nncand 11508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − (𝑚 − 1)) = 1)
50	49	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = (⌊‘1))
51		1z 12555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		flid 13765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
54	50, 53	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
55	54	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
57	47, 56	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
58	57	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
59	58	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
60	10, 59	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
61	60	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
62	1, 61	sylbi 218	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ⌊cfl 13747  !cfa 14233   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-phi 16734  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-cnfld 21355

This theorem is referenced by:  indprm  48108  indprmfz  48109