Theorem ppivalnnprm 48085

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a prime number. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Proof of Theorem ppivalnnprm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 27052	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluzelz 12787	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		eluz2nn 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12625	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
9		divides 16212	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
11		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
12	11	eqcoms 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃))
13		zcn 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
15		eluzelcn 12789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
17		eluz2n0 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ≠ 0)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) = 𝑚)
20	12, 19	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) = 𝑚)
21	6	nncnd 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
22		pncan1 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
24	23	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) = (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1))
26		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) = (𝑚 · 𝑃) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
27	26	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) − 1) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
28	25, 27	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) = ((𝑚 · 𝑃) − 1))
29	28	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
31	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
32	30, 31	zmulcld 12628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑃) ∈ ℂ)
34		1cnd 11128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34, 16, 18	divsubdird 11959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)))
36	19	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) / 𝑃) − (1 / 𝑃)) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
37	35, 36	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (((𝑚 · 𝑃) − 1) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
39	29, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃) = (𝑚 − (1 / 𝑃)))
40	39	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))))
41	3	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
42		flmrecm1 47788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (1 / 𝑃))) = (𝑚 − 1))
45	40, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)) = (𝑚 − 1))
46	20, 45	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃))) = (𝑚 − (𝑚 − 1)))
47	46	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))))
48		1cnd 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
49	13, 48	nncand 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − (𝑚 − 1)) = 1)
50	49	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = (⌊‘1))
51		1z 12546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
52		flid 13756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
54	50, 53	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘(𝑚 − (𝑚 − 1))) = 1)
57	47, 56	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
59	58	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑃) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
60	10, 59	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1))
61	60	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)
62	1, 61	sylbi 217	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) / 𝑃) − (⌊‘((!‘(𝑃 − 1)) / 𝑃)))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ⌊cfl 13738  !cfa 14224   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-phi 16725  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  indprm  48089  indprmfz  48090