MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxpsmopn 24464
Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsmopn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
tmsxpsmopn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
tmsxpsmopn.l 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
tmsxpsmopn (𝜑𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Proof of Theorem tmsxpsmopn
StepHypRef Expression
1 tmsxps.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 eqid 2725 . . . . . 6 (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
32tmsxms 24413 . . . . 5 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
5 xmstps 24377 . . . 4 ((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
7 tmsxps.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
8 eqid 2725 . . . . . 6 (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
98tmsxms 24413 . . . . 5 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11 xmstps 24377 . . . 4 ((toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
13 eqid 2725 . . . 4 ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
14 eqid 2725 . . . 4 (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀))
15 eqid 2725 . . . 4 (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))
16 eqid 2725 . . . 4 (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
1713, 14, 15, 16xpstopn 23734 . . 3 (((toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp) → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
186, 12, 17syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
19 tmsxpsmopn.l . . 3 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
2013xpsxms 24461 . . . . . 6 (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
214, 10, 20syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
22 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
23 tmsxps.p . . . . . . 7 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
2423reseq1i 5975 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = ((dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
2516, 22, 24xmstopn 24375 . . . . 5 (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
2621, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
27 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
28 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
2913, 27, 28, 4, 10, 23xpsdsfn2 24302 . . . . . 6 (𝜑𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30 fnresdm 6669 . . . . . 6 (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
3231fveq2d 6896 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))) = (MetOpen‘𝑃))
3326, 32eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘𝑃) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
3419, 33eqtrid 2777 . 2 (𝜑𝐿 = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
35 tmsxpsmopn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
362, 35tmstopn 24412 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
371, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
38 tmsxpsmopn.k . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
398, 38tmstopn 24412 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
407, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
4137, 40oveq12d 7434 . 2 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
4218, 34, 413eqtr4d 2775 1 (𝜑𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   × cxp 5670  cres 5674   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402   ×s cxps 17487  ∞Metcxmet 21268  MetOpencmopn 21273  TopSpctps 22852   ×t ctx 23482  ∞MetSpcxms 24241  toMetSpctms 24243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-tms 24246
This theorem is referenced by:  txmetcnp  24474
  Copyright terms: Public domain W3C validator