Theorem tmsxpsmopn 24675

Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsmopn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
tmsxpsmopn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
tmsxpsmopn.l	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsmopn	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Proof of Theorem tmsxpsmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
3	2	tmsxms 24624	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24591	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
7		tmsxps.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
9	8	tmsxms 24624	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11		xmstps 24591	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
17	13, 14, 15, 16	xpstopn 23950	. . 3 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp) → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
18	6, 12, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
19		tmsxpsmopn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
20	13	xpsxms 24672	. . . . . 6 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
21	4, 10, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
23		tmsxps.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
24	23	reseq1i 5976	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = ((dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
25	16, 22, 24	xmstopn 24589	. . . . 5 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
26	21, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
28		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
29	13, 27, 28, 4, 10, 23	xpsdsfn2 24516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30		fnresdm 6656	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
31	29, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
32	31	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))) = (MetOpen‘𝑃))
33	26, 32	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝑃) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
34	19, 33	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
35		tmsxpsmopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
36	2, 35	tmstopn 24623	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
37	1, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
38		tmsxpsmopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
39	8, 38	tmstopn 24623	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
40	7, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
41	37, 40	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
42	18, 34, 41	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   × cxp 5661   ↾ cres 5665   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  distcds 17320  TopOpenctopn 17475   ×_s cxps 17561  ∞Metcxmet 21488  MetOpencmopn 21493  TopSpctps 23070   ×_t ctx 23698  ∞MetSpcxms 24455  toMetSpctms 24457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-tms 24460

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24685