Theorem tmsxpsmopn 24476

Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsmopn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
tmsxpsmopn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
tmsxpsmopn.l	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsmopn	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Proof of Theorem tmsxpsmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
3	2	tmsxms 24425	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24392	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
7		tmsxps.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
9	8	tmsxms 24425	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11		xmstps 24392	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀))
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
17	13, 14, 15, 16	xpstopn 23750	. . 3 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp) → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
18	6, 12, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
19		tmsxpsmopn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
20	13	xpsxms 24473	. . . . . 6 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
21	4, 10, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
23		tmsxps.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
24	23	reseq1i 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = ((dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
25	16, 22, 24	xmstopn 24390	. . . . 5 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
27		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
28		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
29	13, 27, 28, 4, 10, 23	xpsdsfn2 24317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30		fnresdm 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
32	31	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))) = (MetOpen‘𝑃))
33	26, 32	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝑃) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
34	19, 33	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
35		tmsxpsmopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
36	2, 35	tmstopn 24424	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
37	1, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
38		tmsxpsmopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
39	8, 38	tmstopn 24424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
40	7, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
41	37, 40	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
42	18, 34, 41	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   × cxp 5652   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  distcds 17280  TopOpenctopn 17435   ×_s cxps 17520  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305  TopSpctps 22870   ×_t ctx 23498  ∞MetSpcxms 24256  toMetSpctms 24258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-xms 24259  df-tms 24261

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24486