Theorem tmsxpsmopn 24441

Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsmopn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
tmsxpsmopn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
tmsxpsmopn.l	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsmopn	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Proof of Theorem tmsxpsmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
3	2	tmsxms 24390	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24357	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
7		tmsxps.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
9	8	tmsxms 24390	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11		xmstps 24357	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀))
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
17	13, 14, 15, 16	xpstopn 23715	. . 3 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp) → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
18	6, 12, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
19		tmsxpsmopn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
20	13	xpsxms 24438	. . . . . 6 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
21	4, 10, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
23		tmsxps.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
24	23	reseq1i 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = ((dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
25	16, 22, 24	xmstopn 24355	. . . . 5 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
29	13, 27, 28, 4, 10, 23	xpsdsfn2 24282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30		fnresdm 6605	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
32	31	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))) = (MetOpen‘𝑃))
33	26, 32	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝑃) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
34	19, 33	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
35		tmsxpsmopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
36	2, 35	tmstopn 24389	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
37	1, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
38		tmsxpsmopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
39	8, 38	tmstopn 24389	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
40	7, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
41	37, 40	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
42	18, 34, 41	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5621   ↾ cres 5625   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  distcds 17188  TopOpenctopn 17343   ×_s cxps 17428  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269  TopSpctps 22835   ×_t ctx 23463  ∞MetSpcxms 24221  toMetSpctms 24223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24224  df-tms 24226

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24451