Theorem tmsxpsmopn 24502

Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsmopn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
tmsxpsmopn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
tmsxpsmopn.l	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsmopn	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Proof of Theorem tmsxpsmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
3	2	tmsxms 24451	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24418	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp)
7		tmsxps.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
9	8	tmsxms 24451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11		xmstps 24418	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)) = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
17	13, 14, 15, 16	xpstopn 23777	. . 3 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ TopSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ TopSp) → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
18	6, 12, 17	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
19		tmsxpsmopn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝑃)
20	13	xpsxms 24499	. . . . . 6 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
21	4, 10, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
22		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
23		tmsxps.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
24	23	reseq1i 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = ((dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
25	16, 22, 24	xmstopn 24416	. . . . 5 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))))
27		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
28		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
29	13, 27, 28, 4, 10, 23	xpsdsfn2 24343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30		fnresdm 6617	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
32	31	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))) = (MetOpen‘𝑃))
33	26, 32	eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝑃) = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
34	19, 33	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (TopOpen‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
35		tmsxpsmopn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
36	2, 35	tmstopn 24450	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
37	1, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)))
38		tmsxpsmopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
39	8, 38	tmstopn 24450	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
40	7, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁)))
41	37, 40	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) = ((TopOpen‘(toMetSp‘𝑀)) ×t (TopOpen‘(toMetSp‘𝑁))))
42	18, 34, 41	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5629   ↾ cres 5633   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  distcds 17229  TopOpenctopn 17384   ×_s cxps 17470  ∞Metcxmet 21337  MetOpencmopn 21342  TopSpctps 22897   ×_t ctx 23525  ∞MetSpcxms 24282  toMetSpctms 24284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-tms 24287

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24512