Theorem mbfres2 24496

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfres2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
2	1	reseq2d 5836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
3		mbfres2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		ffn 6523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	2, 6	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
8	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
9		resundi 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶))
10	8, 9	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
11	10	cnveqd 5729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
12		cnvun 5986	. . . . . . 7 ⊢ ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)) = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
13	11, 12	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)))
14	13	imaeq1d 5913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥))
15		imaundir 5994	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥))
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)))
17		mbfres2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
18		ssun1 4072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
19	18, 1	sseqtrid 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20	3, 19	fssresd 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
21		ismbf 24479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
24	23	r19.21bi 3120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25		mbfres2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
26		ssun2 4073	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
27	26, 1	sseqtrid 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28	3, 27	fssresd 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
29		ismbf 24479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	25, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
32	31	r19.21bi 3120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33		unmbl 24388	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
34	24, 32, 33	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
35	16, 34	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	35	ralrimiva 3095	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		ismbf 24479	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
38	3, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
39	36, 38	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∪ cun 3851  ^◡ccnv 5535  dom cdm 5536  ran crn 5537   ↾ cres 5538   “ cima 5539   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ℝcr 10693  (,)cioo 12900  volcvol 24314  MblFncmbf 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xadd 12670  df-ioo 12904  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215  df-xmet 20310  df-met 20311  df-ovol 24315  df-vol 24316  df-mbf 24470

This theorem is referenced by:  mbfss  24497  mbfresfi  35509  mbfposadd  35510  mbfres2cn  43117