Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2 24252
 Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
21reseq2d 5822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹𝐴))
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 ffn 6491 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5 fnresdm 6442 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
72, 6eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
9 resundi 5836 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶))
108, 9eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
1110cnveqd 5714 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
12 cnvun 5972 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶))
1311, 12eqtrdi 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
1413imaeq1d 5899 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) = (((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) “ 𝑥))
15 imaundir 5980 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) “ 𝑥) = (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥))
1614, 15eqtrdi 2852 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) = (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)))
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
18 ssun1 4102 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵𝐶)
1918, 1sseqtrid 3970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
203, 19fssresd 6523 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
21 ismbf 24235 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2317, 22mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2423r19.21bi 3176 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → ((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25 mbfres2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
26 ssun2 4103 . . . . . . . . . 10 𝐶 ⊆ (𝐵𝐶)
2726, 1sseqtrid 3970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
283, 27fssresd 6523 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
29 ismbf 24235 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3125, 30mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
3231r19.21bi 3176 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → ((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33 unmbl 24144 . . . . 5 ((((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
3424, 32, 33syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
3516, 34eqeltrd 2893 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
3635ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
37 ismbf 24235 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
383, 37syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3936, 38mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∪ cun 3882  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ℝcr 10529  (,)cioo 12730  volcvol 24070  MblFncmbf 24221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-xmet 20087  df-met 20088  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226 This theorem is referenced by:  mbfss  24253  mbfresfi  35096  mbfposadd  35097  mbfres2cn  42587
 Copyright terms: Public domain W3C validator