Theorem mbfres2 23632

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfres2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
2	1	reseq2d 5534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
3		mbfres2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		ffn 6185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	2, 6	eqtr2d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
8	7	adantr 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
9		resundi 5551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶))
10	8, 9	syl6eq 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
11	10	cnveqd 5436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
12		cnvun 5679	. . . . . . 7 ⊢ ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)) = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
13	11, 12	syl6eq 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)))
14	13	imaeq1d 5606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥))
15		imaundir 5687	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥))
16	14, 15	syl6eq 2821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)))
17		mbfres2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
18		ssun1 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
19	18, 1	syl5sseq 3802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20	3, 19	fssresd 6211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
21		ismbf 23616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	17, 22	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
24	23	r19.21bi 3081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25		mbfres2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
26		ssun2 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
27	26, 1	syl5sseq 3802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28	3, 27	fssresd 6211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
29		ismbf 23616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	25, 30	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
32	31	r19.21bi 3081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33		unmbl 23525	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
34	24, 32, 33	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
35	16, 34	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	35	ralrimiva 3115	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		ismbf 23616	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
38	3, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
39	36, 38	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ∪ cun 3721  ^◡ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250   ↾ cres 5251   “ cima 5252   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ℝcr 10137  (,)cioo 12380  volcvol 23451  MblFncmbf 23602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-xmet 19954  df-met 19955  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607

This theorem is referenced by:  mbfss  23633  mbfresfi  33788  mbfposadd  33789  mbfres2cn  40691