Theorem mbfres2 25873

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfres2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
2	1	reseq2d 5972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
3		mbfres2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		ffn 6702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	2, 6	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
9		resundi 5986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶))
10	8, 9	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
11	10	cnveqd 5855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
12		cnvun 6133	. . . . . . 7 ⊢ ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)) = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)))
14	13	imaeq1d 6055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥))
15		imaundir 6142	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥))
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)))
17		mbfres2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
18		ssun1 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
19	18, 1	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20	3, 19	fssresd 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
21		ismbf 25856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
24	23	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25		mbfres2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
26		ssun2 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
27	26, 1	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28	3, 27	fssresd 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
29		ismbf 25856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	25, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
32	31	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33		unmbl 25765	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
34	24, 32, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
35	16, 34	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	35	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		ismbf 25856	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
38	3, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
39	36, 38	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∪ cun 3897  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ℝcr 11123  (,)cioo 13398  volcvol 25691  MblFncmbf 25842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xadd 13164  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-xmet 21578  df-met 21579  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847

This theorem is used by:  mbfss  25874  mbfresfi  38415  mbfposadd  38416  mbfres2cn  46786