Theorem mbfres2 25959

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfres2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
2	1	reseq2d 5970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
3		mbfres2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		ffn 6707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	2, 6	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)))
9		resundi 5984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶))
10	8, 9	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
11	10	cnveqd 5853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)))
12		cnvun 6133	. . . . . . 7 ⊢ ◡((𝐹 ↾ 𝐵) ∪ (𝐹 ↾ 𝐶)) = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
13	11, 12	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ◡𝐹 = (◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)))
14	13	imaeq1d 6051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥))
15		imaundir 6142	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) ∪ ◡(𝐹 ↾ 𝐶)) “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥))
16	14, 15	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) = ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)))
17		mbfres2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
18		ssun1 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
19	18, 1	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20	3, 19	fssresd 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
21		ismbf 25942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
24	23	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25		mbfres2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
26		ssun2 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
27	26, 1	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28	3, 27	fssresd 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
29		ismbf 25942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	25, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
32	31	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33		unmbl 25851	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
34	24, 32, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(𝐹 ↾ 𝐵) “ 𝑥) ∪ (◡(𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
35	16, 34	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	35	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		ismbf 25942	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
38	3, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
39	36, 38	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∪ cun 3897  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ℝcr 11192  (,)cioo 13469  volcvol 25777  MblFncmbf 25928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xadd 13235  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-xmet 21664  df-met 21665  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933

This theorem is used by:  mbfss  25960  mbfresfi  38564  mbfposadd  38565  mbfres2cn  46937