MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres2 25386
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐡 and 𝐢 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfres2.2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfres2.3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfres2.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
21reseq2d 5981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆͺ 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 ffn 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
5 fnresdm 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
72, 6eqtr2d 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆͺ 𝐢)))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐹 = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆͺ 𝐢)))
9 resundi 5995 . . . . . . . . 9 (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆͺ 𝐢)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
108, 9eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐹 = ((𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
1110cnveqd 5875 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ◑𝐹 = β—‘((𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
12 cnvun 6142 . . . . . . 7 β—‘((𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) = (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢))
1311, 12eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ◑𝐹 = (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢)))
1413imaeq1d 6058 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢)) β€œ π‘₯))
15 imaundir 6150 . . . . 5 ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) βˆͺ β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢)) β€œ π‘₯) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯))
1614, 15eqtrdi 2788 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯)))
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
18 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ 𝐢)
1918, 1sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
203, 19fssresd 6758 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„)
21 ismbf 25369 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2317, 22mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
2423r19.21bi 3248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
25 mbfres2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
26 ssun2 4173 . . . . . . . . . 10 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆͺ 𝐢)
2726, 1sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
283, 27fssresd 6758 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):πΆβŸΆβ„)
29 ismbf 25369 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):πΆβŸΆβ„ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3125, 30mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
3231r19.21bi 3248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
33 unmbl 25278 . . . . 5 (((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
3424, 32, 33syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ π‘₯) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
3516, 34eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
3635ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
37 ismbf 25369 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
383, 37syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3936, 38mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3946  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β„cr 11111  (,)cioo 13328  volcvol 25204  MblFncmbf 25355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360
This theorem is referenced by:  mbfss  25387  mbfresfi  36837  mbfposadd  36838  mbfres2cn  44973
  Copyright terms: Public domain W3C validator