Theorem zzngim 21459

Description: The ℤ ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zzngim.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zzngim	⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12399	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		zzngim.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
3	2	zncrng 21451	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4		crngring 20130	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ Ring
6		zzngim.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
7	6	zrhrhm 21418	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8		rhmghm 20369	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
9	5, 7, 8	mp2b 10	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	2, 10, 6	znzrhfo 21454	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13		fofn 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14		fnresdm 6601	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
16	6	reseq1i 5926	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
17	15, 16	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
19	18	iftruei 4483	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
20	19	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
21	2, 10, 17, 20	znf1o 21458	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
22	1, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23		zringbas 21360	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 10	isgim 19141	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
25	9, 22, 24	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   ↾ cres 5621   Fn wfn 6477  –onto→wfo 6480  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557  Basecbs 17120   GrpHom cghm 19091   GrpIso cgim 19136  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  ℤ_ringczring 21353  ℤRHomczrh 21406  ℤ/nℤczn 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-dvds 16164  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zn 21413

This theorem is referenced by: (None)