Theorem zzngim 21765

Description: The ℤ ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zzngim.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zzngim	⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		zzngim.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
3	2	zncrng 21757	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4		crngring 20384	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ Ring
6		zzngim.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
7	6	zrhrhm 21724	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8		rhmghm 20625	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
9	5, 7, 8	mp2b 10	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	2, 10, 6	znzrhfo 21760	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13		fofn 6791	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14		fnresdm 6651	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
16	6	reseq1i 5968	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
17	15, 16	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
19	18	iftruei 4489	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
20	19	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
21	2, 10, 17, 20	znf1o 21764	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
22	1, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23		zringbas 21666	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 10	isgim 19389	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
25	9, 22, 24	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13709  Basecbs 17301   GrpHom cghm 19340   GrpIso cgim 19384  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373   RingHom crh 20610  ℤ_ringczring 21659  ℤRHomczrh 21712  ℤ/nℤczn 21715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-dvds 16343  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-imas 17594  df-qus 17595  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-eqg 19248  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396  df-2idl 21452  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-zn 21719

This theorem is used by: (None)