Theorem zzngim 21438

Description: The ℤ ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zzngim.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zzngim	⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12433	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		zzngim.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
3	2	zncrng 21430	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4		crngring 20130	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ Ring
6		zzngim.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
7	6	zrhrhm 21397	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8		rhmghm 20369	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
9	5, 7, 8	mp2b 10	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	2, 10, 6	znzrhfo 21433	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13		fofn 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14		fnresdm 6619	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
16	6	reseq1i 5935	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
17	15, 16	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
19	18	iftruei 4491	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
20	19	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
21	2, 10, 17, 20	znf1o 21437	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
22	1, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23		zringbas 21339	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 10	isgim 19170	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
25	9, 22, 24	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   ↾ cres 5633   Fn wfn 6494  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591  Basecbs 17155   GrpHom cghm 19120   GrpIso cgim 19165  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  ℤ_ringczring 21332  ℤRHomczrh 21385  ℤ/nℤczn 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-dvds 16199  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-gim 19167  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-2idl 21136  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-zn 21392

This theorem is referenced by: (None)