Theorem zzngim 21545

Description: The ℤ ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zzngim.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zzngim	⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12446	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		zzngim.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
3	2	zncrng 21537	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4		crngring 20220	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ Ring
6		zzngim.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
7	6	zrhrhm 21504	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8		rhmghm 20457	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
9	5, 7, 8	mp2b 10	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	2, 10, 6	znzrhfo 21540	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13		fofn 6749	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14		fnresdm 6612	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
16	6	reseq1i 5935	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
17	15, 16	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
19	18	iftruei 4474	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
20	19	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
21	2, 10, 17, 20	znf1o 21544	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
22	1, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23		zringbas 21446	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 10	isgim 19231	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
25	9, 22, 24	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ..^cfzo 13602  Basecbs 17173   GrpHom cghm 19181   GrpIso cgim 19226  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  ℤ_ringczring 21439  ℤRHomczrh 21492  ℤ/nℤczn 21495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-dvds 16216  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-imas 17466  df-qus 17467  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-nsg 19094  df-eqg 19095  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-zn 21499

This theorem is referenced by: (None)