Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxps 23147
 Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tmsxps (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem tmsxps
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4 tmsxps.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2801 . . . . . . 7 (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
65tmsxms 23097 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8 tmsxps.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9 eqid 2801 . . . . . . 7 (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
109tmsxms 23097 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12 tmsxps.p . . . . 5 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
131, 2, 3, 7, 11, 12xpsdsfn2 22989 . . . 4 (𝜑𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
14 fnresdm 6442 . . . 4 (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
161xpsxms 23145 . . . . 5 (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
177, 11, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
18 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
1918, 12xmsxmet2 23070 . . . 4 (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
2115, 20eqeltrrd 2894 . 2 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
225tmsbas 23094 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
234, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
249tmsbas 23094 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
258, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
2623, 25xpeq12d 5554 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
271, 2, 3, 7, 11xpsbas 16841 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
2826, 27eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
2928fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) = (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
3021, 29eleqtrrd 2896 1 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   × cxp 5521   ↾ cres 5525   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  distcds 16570   ×s cxps 16775  ∞Metcxmet 20080  ∞MetSpcxms 22928  toMetSpctms 22930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-xms 22931  df-tms 22933 This theorem is referenced by:  txmetcnp  23158
 Copyright terms: Public domain W3C validator