Theorem tmsxps 24458

Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
tmsxps	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem tmsxps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4		tmsxps.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
6	5	tmsxms 24408	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8		tmsxps.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
10	9	tmsxms 24408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12		tmsxps.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
13	1, 2, 3, 7, 11, 12	xpsdsfn2 24297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
14		fnresdm 6674	. . . 4 ⊢ (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
16	1	xpsxms 24456	. . . . 5 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
17	7, 11, 16	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
18		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
19	18, 12	xmsxmet2 24378	. . . 4 ⊢ (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
21	15, 20	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
22	5	tmsbas 24405	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
23	4, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
24	9	tmsbas 24405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
25	8, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
26	23, 25	xpeq12d 5709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
27	1, 2, 3, 7, 11	xpsbas 17554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
28	26, 27	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
29	28	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) = (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
30	21, 29	eleqtrrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5676   ↾ cres 5680   Fn wfn 6543  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  distcds 17242   ×_s cxps 17488  ∞Metcxmet 21264  ∞MetSpcxms 24236  toMetSpctms 24238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-tms 24241

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24469